VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song:
Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song. Phương pháp: Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song thường là dựa vào các tính chất của phép chiếu song song để chứng minh một vấn đề nào đó. Cần chú ý rằng trong các bài toán dạng này, việc tìm phương chiếu đóng vai trò khá quan trọng. Các ví dụ. Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD. a. Chứng minh hình chiếu G’ của điểm G trên mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AB là trọng tâm của tam giác BCD. b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và AC. Tìm hình chiếu song song của các điểm M, N theo phép chiếu nói trên.
Chứng minh G là trọng tâm của tam giác BCD: Gọi I là trung điểm của CD. Qua phép chiếu song song phương AB thì IB là hình chiếu của IA trên mặt phẳng (BCD). Vì phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự ba điểm A, G, I nên hình biểu diễn G’ của G nằm trên BI và giữa B và I. Trong tam giác AB, G’ là trọng tâm của tam giác BCD. b. Hình chiếu của M, N qua phép chiếu song song phương AB trên mặt phẳng (BCD). Ta thấy: BD là hình chiếu của AD trên mặt phẳng (BCD); M là trung điểm của AD nên M’ là trung điểm của BD. BC là hình chiếu của AC trên mặt phẳng (BCD); N là trung điểm của AC nên N’ là trung điểm của BC.
Ví dụ 2. Cho hai hình bình hành ABCD và BCC’B’ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Tìm điểm M trên đoạn DB và điểm N trên đường chéo AC sao cho MN // BC’. Giả sử đã tìm được McDB’ và Ne AC sao cho MN // BC’. Xét phép chiếu song song theo phương BC lên B”. mặt phẳng (ABCD). Khi đó qua phép chiếu này hình chiếu của các điểm D, M, B lần lượt là D, N, B. Vì D, M, B’ thẳng hàng nên D, N, B cũng thẳng hàng. Do đó, N là giao điểm của DB và AC. Từ đó, ta có cách dựng như sau: Cách dựng: Dựng B là hình chiếu của Bỏ qua phép chiếu theo phương BC lên mặt phẳng (ABCD). Dựng N là giao điểm của DB và AC. Trong mặt phẳng (DBB”), ta kẻ NM // B’B” cắt DB tại M. Vậy M và N là các điểm cần tìm.