Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:
Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Phương pháp. Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng a và mặt phẳng (a), ta tìm giao điểm của a và một đường thẳng b nằm trong (a). Phương pháp: Bước 1: Xác định mp(B) chứa a. Bước 2: Tìm giao tuyến b = (a). Bước 3: Trong bc(a), suy ra M = a(a). Các ví dụ rèn luyện kĩ năng. Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD (không có cặp cạnh đối nào song song) nằm trong mặt phẳng (a). S là điểm không nằm trên (a). a. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAC) và (SBD), (SAB) và (SCD). b. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SC và SD. Tìm giao điểm P của đường thẳng BN với mặt phẳng (SAC). c. Gọi Q và R lần lượt là trung điểm của SA và SB. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, Q, R đồng phẳng. Giao tuyến của mặt mp(SAC) và mp(SBD): Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta có: Từ (1) suy ra S là điểm chung thứ nhất của mp(SAC) và mp(SBD). Từ (2) suy ra 0 là điểm chung thứ hai của mp(SAC) và mp(SBD). Giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD): Gọi E là giao điểm của AB và CD. Ta có:
Từ (4) suy ra E là điểm chung thứ hai của mp(SAB) và mp(SCD). Vậy: SE =(SAB) (SCD). b. Trong mp(SBD), hai đường thẳng SO, BN cắt nhau tại P, ta có: P là giao điểm của BN và (SAC). Vậy P là giao điểm cần tìm. c. Chứng minh bốn điểm M, N, Q, R đồng phẳng: Trong mp(SCD), gọi T là giao điểm của MN và SE. Ta có MN là đường trung bình của tam giác SCD nên MN || CD. Xét tam giác SDE, ta có N là trung điểm của SD. T là trung điểm của SE. Tương tự, QR là đường trung bình của tam giác SAB nên QR || AB. Xét tam giác SAE, ta có R đi qua trung điểm T của SE. Q là trung điểm vậy bốn điểm M, N, Q, R nằm trong mặt phẳng tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau TN và TQ nên chúng đồng phẳng. Ví dụ 2. Trong mặt phẳng (d), cho tứ giác ABCD. Gọi S là điểm không thuộc (a), M là điểm nằm trong tam giác SCD. a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBD). b. Xác định giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD). Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBD): Gọi N là giao điểm của SM và CD, gọi E là giao điểm của AN và BD. Rõ ràng mp(SAM) = mp(SAN). b. Xác định giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD).
Ví dụ 3. Cho tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy điểm M, trên cạnh SC lấy điểm N, sao cho MN không song song với AC. Cho điểm O nằm trong tam giác ABC. Tìm giao điểm của mặt phẳng (OMN) với các đường thẳng AC, BC và AB. Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD. Gọi E và F là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh SB và CD. a. Tìm giao điểm của EF với mặt phẳng (SAC). b. Tìm giao điểm của mặt phẳng (AEF) với các đường thẳng BC và SC. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2 PD. Giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP) là giao điểm của. Cách 1. Xét mặt phẳng BCD chứa CD. Do NP không song song CD nên NP cắt CD tại E.