VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Sự cùng phương của hai véctơ – ba điểm thẳng hàng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Sự cùng phương của hai véctơ – ba điểm thẳng hàng:
Phương pháp giải. 1) Hai véc-tơ cùng phương với nhau khi và chỉ khi. Nếu thì hai véc-tơ a và b cùng phương khi và chỉ khi. Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh hai véc-tơ AB và AC cùng phương, tức là tồn tại số thực k sao cho AB = kAC. Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho các véc-tơ A = (5; -7; 2), B = (0; 3; 4), C = (-1; 2; 3). Tìm tọa độ các véc-tơ 2a – b.
Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho các véc-tơ. Chứng minh a và b cùng phương. Tìm m và n để véc-tơ a và b có cùng phương. Hai véc-tơ ỉ và ở cùng phương khi và chỉ khi a = kb. Như vậy x nên hai véc-tơ u và v cùng phương. Hai véc-tơ u và v cùng phương khi và chỉ khi m = –2k. Như vậy m = -4 và n = -2 thì hai véc-tơ u và v cùng phương. Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho véc-tơ a = (2;1;-1), véc-tơ ở cùng phương với v. Tìm tọa độ của véc-tơ. Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A = (1;-1; 0), B = (3; -4;1), C =(-2; 0; 1). (1) Chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. (2) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
3. Tìm tọa độ giao điểm E của đường thẳng AB với mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta có AB = (2 –3; 1), AC =(-3; 1;1). Vì a nên hai véc-tơ AB, AC không cùng phương. Hay ba điểm A, B, C không thẳng hàng, nên ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi DC = AB = 0. Vì E thuộc mặt phẳng Oxy nên E = (0; 2; 3). Mặt khác A, B, E thẳng hàng nên hai véc-tơ AB, AE cùng phương. Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C biết A(0; 1; 3), B(-1; 2; 1), B(-2; 1; 0), C(5; 3; 2).
Tìm tọa độ các đỉnh A’ và C. Ta thấy A = 2 > 0 và B = -1 < 0 nên A, B nằm khác phía so với mặt phẳng tọa độ (Oab). Gọi B' = (1; 3; -9) là điểm đối xứng với điểm B qua mặt phẳng (Oab). Ta có MA – MB < AB' = 134. Bởi vậy P = MA – MB lớn nhất là bằng 3 khi và chỉ khi M là giao điểm của AB' với mặt phẳng tọa độ (Oab). Khi đó M = (0; 4; 2).