VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Liên hệ giữa cung và dây, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Liên hệ giữa cung và dây:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa 1. Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn: 1 Hai cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng căng hai dây bằng nhau. 2 Cung lớn hơn khi và chỉ khi nó căng dây lớn hơn. Trong đường tròn (O), ta có minh họa: AB˜ = CD˜ ⇔ AB = CD ⇔ AOB = COD. AB > ˜ CD˜ ⇔ AB > CD ⇔ AOB > COD. B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VÍ DỤ 1. Cho 4ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn (O). Chứng minh rằng: a) AB˜ = AC˜. b) AB < ˜ BC˜. LỜI GIẢI. Xét 4ABC vuông cân tại A, ta có ngay: AB = AC (hai cạnh bên của tam giác cân) ⇐ AB˜ = AC˜. AB < BC (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền) ⇔ AB < ˜ BC˜. A B C O Chú ý: 1 Giữa đường kính với dây và cung căng dây có sự liên hệ như “Đường kính vuông góc với dây thì”: Đường kính đi qua trung điểm của dây. Đường kính đi qua điểm chính giữa của cung. 2 Hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. VÍ DỤ 2. 1 Vẽ đường tròn tâm (O), bán kính R = 2 cm. Nêu cách vẽ cung AB˜ có số đo bằng 60◦. Hỏi dây AB dài bao nhiêu xen-ti-mét?
Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình bên. A O B LỜI GIẢI. 1 Cách vẽ: Lấy điểm A tùy ý trên đường tròn. Vẽ đường tròn tâm A, bán kính OA = 2 cm. Đường tròn (A) cắt (O) tại B. Cung AB˜ = 60◦ cần dựng và AB = 2 cm. Chứng minh: Đường tròn tâm A, bán kính OA = 2 cm cắt (O) tại B ⇒ OA = AB. Ngoài ra ta có OA = OB. Vậy, 4ABC đều ⇒ AOB = 60◦ ⇒ AB˜ = 60◦. 2 Để chia hình tròn (O; R) thành 6 cung bằng nhau. Ta thực hiện theo các bước sau: Từ điểm A bất kì trên đường tròn (O; R), vẽ đường tròn (A; R) cắt (O) tại B. Từ điểm B vừa vẽ, vẽ đường tròn (B; R) cắt (O) tại C. Từ điểm C vừa vẽ, vẽ đường tròn (C; R) cắt (O) tại D. Từ điểm D vừa vẽ, vẽ đường tròn (D; R) cắt (O) tại E. Từ điểm E vừa vẽ, vẽ đường tròn (E; R) cắt (O) tại F. Vậy các điểm A, B, C, D, E, F chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau. A O B C D E F VÍ DỤ 3. Cho đường tròn (O), dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB. Vẽ dây MC cắt dây AB tại D. Vẽ đường vuông góc với AB tại D, cắt OC ở K. Chứng minh rằng 4KCD là tam giác cân.
LỜI GIẢI. Vì M là điểm chính giữa của cung AB nên OM ⊥ AB ⇒ OM k KD Suy ra KDC = OMC ÷= OCM ÷⇔ 4KCD là tam giác cân. O B A M C D K H Nhận xét: Như vậy, ví dụ trên đã minh họa cho chúng ta thấy việc sử dụng tính chất đường kính vuông góc với một dây để giải toán. Ví dụ tiếp theo sẽ minh họa sử dụng việc sử dụng tính chất “Hai cung chắn giữa hai dây song song”. VÍ DỤ 4. Chứng minh rằng hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. LỜI GIẢI. Xét hai dây song song AB và CD, kẻ bán kính ON ⊥ AB, khi đó vì: AB k CD ⇒ ON ⊥ CD Do tính đối xứng trục NA˜ = NB¯ và NC˜ = ND¯. Suy ra NA˜ − NC˜ = NB¯− ND¯ ⇒ AC˜ = BD˜. O B A D C N Nhận xét: Mở rộng, chúng ta có thêm tính chất: “Tiếp tuyến song song với một dây thì tiếp điểm chia đôi cung căng dây”. Tức là, theo hình vẽ ta có: xy k AB ⇒ AM = BM ⇔ AM¯ = BM¯ O B A y M x.
VÍ DỤ 5. Cho 4ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH của tam giác cắt đường tròn ở D. Vẽ đường kính AE. 1 Chứng minh rằng BECD là hình thang cân. 2 Gọi M là điểm chính giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của BC. 3 Tính bán kính của đường tròn biết BC = 24 cm, IM = 8 cm. LỜI GIẢI. 1 Ta có AD ⊥ BC (giả thiết) AD ⊥ DE (vì AE là đường kính). Suy ra BC k DE ⇒ BE˜ = CD˜ (hai cung chắn giữa hai dây song song) Suy ra BE = CD (liên hệ giữa cung và dây). Mặt khác ta có BE˜ + ED˜ = CD˜ + ED˜ ⇒ BD˜ = CE˜ ⇒ BD = CE. Vậy, BEDC là hình thang cân. A B C O H E D I M 2 Ta có BE˜ + EM¯ = CD˜ + DM¯ ⇒ MB¯ = MC¯. Suy ra IB = IC (đường kính đi qua điểm chính giữa của cung). 3 Ta có BI = IC ⇒ OI ⊥ BC (đường kính đi qua trung điểm của dây). Đặt OC = OM = R, xét 4OIC vuông ta có OC2 = OI2 + IC2 ⇔ R 2 = (R − 8)2 + 122 Suy ra R2 = R2 − 16R + 64 + 144 ⇒ 16R = 208 ⇒ R = 13 cm.
Nhận xét: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau chưa đủ là hình thang cân. Do đó không thể chứng minh BDEC là hình thang cân bằng cách chứng minh BD = CE để suy ra BD = CE. Câu c) là một bài toán thực tế: “Biết độ dài dây BC và khoảng cách IM từ trung điểm dây đến điểm chính giữa cung bị chắn, ta tìm được bán kính của đường tròn”. VÍ DỤ 6. Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O0) cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AC, của đường tròn (O) và đường kính AD của đường tròn (O0). Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O0). 1 So sánh các cung nhỏ BC˜ và BD˜. 2 Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD (tức là điểm B chia cung EBD thành hai cung bằng nhau BE˜ = BD˜).
LỜI GIẢI. 1 Tứ giác AOBO0 là hình thoi do AO = OB = O0A = O0B. Do đó AOB = AO 0B. Suy ra BOC = BO÷0D ⇒ sđBC˜ = sđBD˜. Do (O) và (O0) là các đường tròn bằng nhau và sđBC˜ = sđBD˜ nên BC˜ = BD˜. 2 Gọi I là giao điểm của O0B và DE. Lại có, OA k O0B Theo định lý Ta-lét, ta có DI DE = DO0 DA = 1 2. Suy ra, I là trung điểm của DE. Mặt khác 4EAD vuông tại E (vì EO0 = O0A = O0D) Suy ra DE ⊥ AO ⇒ DE ⊥ BO0 (vì AO k BO0). Xét 4BED có BI vừa là đường cao vừa là trung tuyến ⇒ 4BED là tam giác cân đỉnh B. Do đó BD = BE ⇒ BD˜ = BE˜ hay B là điểm chính giữa cung EBD. O O0 A C B D E I C BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI 1. Tứ giác ABCD có B“ = D“ = 90◦. Biết AB < AD, chứng minh rằng BC > CD.