Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.

Nội dung bài viết Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Định lí 1. Với A ≥ 0, B > 0 thì A B p A p B B DẠNG TOÁN 1 KHAI PHƯƠNG MỘT THƯƠNG Quy tắc khai phương một thương: Muốn khai phương một thương A B của hai biểu thức A ≥ 0, B > 0, ta có thể khai phương lần lượt biểu thức bị chia A và biểu thức chia B. Sau đó lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai. 2 CHIA HAI CĂN THỨC BẬC HAI Quy tắc chia hai căn thức bậc hai: Muốn chia hai căn thức bậc hai của hai biểu thức không âm A cho căn thức bậc hai của biểu thức dương B, ta có thể chia biểu thức A cho biểu thức B rồi lấy căn bậc hai của thương đó.
C PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ví dụ 1. Thực hiện phép tính A = p72 : p 1 2 B 3 Ta viết C dưới dạng: C = (5p3 + 3p5) : p3. Nhận xét. Trong các câu a) và b), chúng ta thực hiện phép bằng bằng việc sử dụng ngay quy tắc chia hai căn thức bậc hai. Tuy nhiên, câu b) có thể thực hiện theo cách biến đổi: p12 − p27 + p3 = p4. Trong câu c), chúng ta thực hiện tách p 15 = p 3 p 5. Tuy nhiên, cũng có thể thực hiện như sau Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức: Nhận xét. Trong lời giải câu 1 các em học sinh cần chú ý tới dấu của 2 − p5 < 0 để xác định được đúng giá trị cho A. Trong lời giải câu 2 bằng việc nhân cả tử và mẫu với 2 chung ta đạt được hai mục đích: – Mẫu số trở thành số chính phương. – Tử số được biến đổi về dạng bình phương một nhị thức. Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức: A 1 Trước hết ta sử dụng quy tắc nhân hai căn bậc hai, rối biến đổi tiếp: A = a2b b(a + 3) nếu a + 3 ≥ 0 − b(a + b) nếu a + 3 < 0 b(a + 3) nếu a ≥ −3 − b(a + 3) nếu a < −3. Nhận xét. Như vậy, trong câu 1 nếu chúng ta vận dụng quy tắc khai phương một thương một cách máy móc sẽ không nhân được kết quả gọn. Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức Nhận xét. Trong lời giải câu 1 chúng ta đã lựa chọn cách đơn giản từng biểu thức, dựa trên việc phân tích tử số thành các hằng đẳng thức. Tất nhiên, biểu thức cũng có thể được đơn giản bằng quy đồng mẫu số, xong cách giải này phức tạp hơn. Trong lời giải câu 2 chúng ta đánh giá được tử số là một hằng đẳng thức, tuy nhiên mẫu số không phải là hằng đẳng thức, dó đó chúng ta sử dụng phương pháp nhóm số hạng để phân tích nó thành tích. Ví dụ 5. 1 So sánh p25 − 16 với p25 − p16. 2 Chứng minh rằng với a > b > 0 luôn có: pa − b > pa − pb. Lời giải. 1 Ta nhận thấy: p25 − 16 = p9 = 3 và p25 − p16 = 5 − 4 = 1. 2 Hai vế của bất đẳng thức không âm nên bình phương hai vế luôn đúng với a > b > 0. Nhận xét. Cách đặt vấn đề của ví dụ trên, giúp chúng ta tiếp cận với bất đẳng thức trước khi đi chứng minh nó. Tuy nhiên, nếu đặt vấn đề theo kiểu ngược lại, chúng ta sẽ được quyền dùng bất đẳng thức này để đưa ra đánh giá cho phép so sánh. Ví dụ 6. Cho biểu thức A 1 Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa. 2 Rút gọn biểu thức. 3 Tính giá trị của biểu thức A khi x = 53. Lời giải. 1 Điều kiện để biểu thức A có nghĩa: x − 1 ≥ 0 x ≥ 0 ⇔ x > 1. Vậy tập xác định của A là x > 1. 3 Trước hết, ta đi đơn giản biểu thức với giá trị của x, bằng cách: Trong lời giải câu 2 ở bước biến đổi thứ hai, ta bỏ được dấu trị tuyệt đối do điều kiện x > 1 đã xác định ở câu 1. Trong lời giải câu 3 để nhận được kết quả A = 7, chúng ta đã phải thực hiện hai công việc: – Đơn giản biểu thức giá trị của x, bằng cách nhân cả tử và mẫu với 9 + 2p 7. Bản chất của việc làm này được gọi là “Phép nhân liên hợp” và chúng ta sẽ nghiên cứu kĩ trong chủ đề sau.
Đơn giản biểu thức giá trị của A, bằng cách tách 8 + 2p7 thành 7 + 2p7 + 1 để nhận được một nhị thức bình phương, từ đó khử được căn thức. Ví dụ 7. Cho hai biểu thức A 1 Tìm x để A có nghĩa. 2 Tìm x để B có nghĩa. 3 Với giá trị nào của x thì A = B? Với giá trị nào của x thì chỉ A có nghĩa, còn B không có nghĩa? Lời giải. 1 Để A có nghĩa điều kiện là x − 1 Ta lập bản xét dấu, dựa trên: x − 1 = 0 ⇔ x = 1; x − 3 = 0 ⇔ x = 3 như sau: Từ đó suy ra: x − 1 x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 hoặc x > 3. Vậy, với x ≤ 1 hoặc x > 3 thì A có nghĩa. 2 Để B có nghĩa điều kiện là: ½ ⇔ x > 3. Vậy, với x > 3 thì B có nghĩa. 3 Để có A = B, tức là ⇔ x > 3. Vậy, với x > 3 thì A = B. 4 Ta có ngay với x ≤ 1 thì chỉ có A có nghĩa, còn B không có nghĩa. D BÀI TẬP TỰ LUYỆN.