Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.

Nội dung bài viết Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn:
Phương pháp Ta lựa chọn một trong hai cách sau Cách 1: Sử dụng định nghĩa, ta chứng minh các điểm này cùng cách đều một điểm. Cách 2: Sử dụng kết quả “Nếu ABC = 90◦ thì B thuộc đường tròn đường kính AC”. Ví dụ 1. Cho 4ABC và điểm M là trung điểm của BC. Hạ MD ME theo thứ tự vuông góc với AB và AC. Trên tia BD và CE lần lượt lấy các điểm I K sao cho D là trung điểm của BI, E là trung điểm của CK. Chứng minh rằng bốn điểm B, I, K, C cùng nằm trên một đường tròn. Lời giải. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau Cách 1: (Sử dụng định nghĩa) Ta có M là trung điểm BC nên MB = MC = 1 2 BC. (1) MD là trung trục cảu BI nên M I = MB. (2) ME là trung trực của CK nên MK = MC. (3) Từ (1), (2), (3) suy ra MB = MC = M I = MK = 1 2 BC. Vậy bốn điểm B, I, K, C cùng nằm trên đường tròn tâm M, bán kính 1 2 BC. Cách 2: Ta có MD là trung trực của BI nên: M I = MB = 1 2 BC ⇔ ∆BCI vuông tại I. ⇔ I thuộc đường tròn đường kính BC. (4) ME là trung trực của CK nên: MK = MC = 1 2 BC ⇔ ∆BCK vuông tại K. ⇔ K thuộc đường tròn đường kính BC. (5) Vậy bốn điểm B, I, K, C cùng nằm trên đường tròn tâm M, đường kính BC. Nhận xét. Trong lời giải trên, để chứng minh bốn điểm B, I, K, C cùng thuộc một đường tròn, ta có thể sử dụng cả hai cách và Ở cách 1, ta khẳng định điểm M (đã cho sẵn) cách đều bốn điểm B, I, K, C dựa trên tính chất đường trung trực. Ở cách 2 ta khéo léo chứng minh BIC = BKC = 90◦ dựa trên kết quả “Trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nữa cạnh huyền và ngược lại”. Tuy nhiên cách 2 được đề xuất thông qua kết quả của cách 1.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng qua ba điểm thẳng hàng không thể có một đường tròn. Lời giải. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại đường tròn (O) đi qua ba điểm thẳng hàng A, B, C. Ta có A,B ∈ (O) ⇒ OA = OB ⇒ O thuộc trung trực Ex của AB. B,C ∈ (O) ⇒ OB = OC ⇒ O thuộc trung trực F y của BC. suy ra O = Ex ∩ F y. (*) Mặt khác, vì A, B, C thẳng hàng nên: Ex kF y điều này mâu thuẫn với (*). Vậy qua ba điểm thẳng hàng không thể có một đường tròn. 4! Chú ý: Từ kết quả “Ba điểm không thẳng hàng A, B, C xác định một và chỉ một đường tròn đi qua ba điểm đó”, chúng ta có thể khai thác thêm như sau: 1. Nếu các điểm A, B, C, D thuộc đường tròn (O) và A, B, C, E thuộc đường tròn (O0) thì (O) ≡ (O0), hay nói cách khác ” Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn ”. 2. Mở rộng hơn “Nếu ta có A, B, C, D thuộc đường tròn (O1) và A, B, C, E thuộc đường tròn (O2) và A, B, C, F thuộc đường tròn (O3) thì (O1) ≡ (O2) ≡ (O3) ≡ (O) và (O) là đường tròn ngoại tiếp 4DEF”.