Giải phương trình bậc ba

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Giải phương trình bậc ba, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.

Nội dung bài viết Giải phương trình bậc ba:
Phương pháp giải: Phương pháp giải: Để giải phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đoán nghiệm x0 của (1). Bước 2: Phân tích (1) thành (x − x0)(ax2 + b1x + c1) = 0 ⇔ x = x0 g(x) = ax2 + b1x + c1 = 0 (2) Bước 3: Giải (2) rồi kết luận nghiệm của phương trình. 4! 1) Dự đoán nghiệm dựa vào kết quả sau: a) Nếu a + b + c + d = 0 thì (1) có nghiệm x = 1. b) Nếu a − b + c − d = 0 thì (1) có nghiệm x = −1. c) Nếu a, b, c, d nguyên và (1) có nghiệm hữu tỉ p q thì p, q theo thứ tự là ước của d và a. d) Nếu ac3 = bd3 (a, d 6= 0) thì (1) có nghiệm x = − c b. 2) Với các phương trình có chứa tham số có thể coi tham số là ẩn để thực hiện việc phân tích đa thức. VÍ DỤ 11. Giải các phương trình sau 2x 3 + x a) 2 − 5x + 2 = 0; 2x b) 3 + x + 3 = 0. LỜI GIẢI. 1 Nhận xét rằng a + b + c + d = 0, do đó phương trình có nghiệm x = 1. Biến đổi phương trình về dạng (x − 1)(2x 2 + 3x − 2) = 0 ⇔ x − 1 = 0 2x 2 + 3x − 2 = 0 ⇔ x = 1 x = 1 2 x = −2. Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt: x = 1, x = 1 2, x = −2. 2 Nhận xét rằng a − b + c − d = 0 do đó phương trình có nghiệm x = −1. Biến đổi phương trình về dạng (x + 1)(2x 2 − 2x + 3) = 0 ⇔ x + 1 = 0 2x 2 − 2x + 3 = 0 ⇔ x = −1. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −1. VÍ DỤ 12 (Bài 57/tr63-sgk). Giải các phương trình sau 1,2x 3 − x a) 2 − 0, 2x = 0; 5x 3 − x b) 2 − 5x + 1 = 0. LỜI GIẢI. 1 Ta có 1,2x 3 − x 2 − 0,2x = 0 ⇔ x(1,2x 2 − x − 0,2) = 0 ⇔ x = 0 1,2x 2 − x − 0,2 = 0 ⇔ x = 0 x = 1 ∨ x = − 1 6.
Vậy, phương trình có 3 nghiệm. 2 Ta có 5x 3 − 5x − x 2 + 1 = 0 ⇔ 5x(x 2 − 1) − (x 2 − 1) = 0 ⇔(x 2 − 1)(5x − 1) = 0 ⇔ x 2 − 1 = 0 5x − 1 = 0 ⇔ x = ±1 x = 1 5. Vậy, phương trình có 3 nghiệm. VÍ DỤ 13. Giải các phương trình sau 3x 3 − 8x a) 2 − 2x + 4 = 0; x 3 + x 2 − x √2 − 2 √b) 2 = 0. LỜI GIẢI. 1 Nhận xét rằng a = 3 có ước là ±1, ±3 và d = 2 có ước là ±1, ±2 do đó phương trình nếu có nghiệm hữu tỉ thì chỉ có thể là một trong các giá trị ±1, ±2, ± 1 3, ± 2 3. Nhận thấy x = 2 3 là nghiệm của phương trình. Biến đổi phương trình về dạng (3x − 2)(x 2 − 2x − 2) = 0 ⇔ 3x − 2 = 0 x 2 − 2x − 2 = 0 ⇔ x = 2 3 x = 1 ± √3. Vậy, phương trình có ba nghiệm phân biệt: x = 2 3, x = 1 + √3, x = 1 − √3. 2 Nhận xét rằng ac3 = 1 · (− √2)3 = −2 √2 = bd3 do đó phương trình có nghiệm x = − c b = √2. Biến đổi phương trình về dạng (x − √2) x 2 + (√2 + 1)x + 2ó = 0 ⇔ x − √2 = 0 x 2 + (√2 + 1)x + 2 = 0 ⇔ x = √2. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = √2. 4! Khi đã thành thạo các phương pháp nhẩm nghiệm các bạn học sinh không cần nêu nhận xét trong lời giải cho mỗi phương trình. VÍ DỤ 14 (Bài 39.b/tr 57-sgk). Giải phương trình x 3 + 3x 2 − 2x − 6 = 0. LỜI GIẢI. Ta có x 3 + 3x 2 − 2x − 6 = 0 ⇔ (x + 3)(x 2 − 2) = 0 ⇔ x + 3 = 0 x 2 − 2 = 0 ⇔ x = −3 x = ± √2. Vậy, phương trình có 3 nghiệm. VÍ DỤ 15. Cho phương trình x 3 − (2m + 1)x 2 + 3(m + 4)x − m − 12 = 0. 1 Giải phương trình với m = −12. 2 Xác định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
LỜI GIẢI. Biến đổi phương trình về dạng (x − 1)(x 2 − 2mx + m + 12) = 0 ⇔ x − 1 = 0 g(x) = x 2 − 2mx + m + 12 = 0 (2) (I) 1 Với m = −12, hệ (I) có dạng x − 1 = 0 x 2 + 24x = 0 ⇔ x = 1 x = 0 x = 24. Vậy, phương trình có ba nghiệm phân biệt x = 1, x = 0, x = −24. 2 (Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ ∆ 0 g > 0 g(1) 6= 0 ⇔ (m2 − m − 12 > 0 13 − m 6= 0 ⇔ (m < −3 4 < m 6= 13. Vậy, với m < −3 hoặc 4 < m 6= 13 phương trình có ba nghiệm phân biệt. 4! Nếu phương trình có chứa tham số m, ta có thể coi mlà ẩn, còn x là tham số. Sau đó tìm lại x theo m. VÍ DỤ 16. Xác định m để phương trình m2x 3 − 3mx2 + (m2 + 2)x − m = 0, với m 6= 0 có ba nghiệm phân biệt. LỜI GIẢI. Viết lại phương trình về dạng (x 3 + x)m2 − (3x 2 + 1)m + 2x = 0. Coi m là ẩn, còn x là tham số, ta được phương trình bậc 2 theo m. Giải ra ta được m = 1 x hoặc m = 2x x 2 + 1. Do đó phương trình được chuyển về dạng (mx − 1)(mx2 − 2x + m) = 0 ⇔ mx − 1 = 0 f(x) = mx2 − 2x + m = 0. Phương trình có ba nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 m ⇔ a 6= 0 ∆ 0 > 0 f(−1 m) 6= 0 ⇔ m 6= 0 1 − m2 > 0 m − 1 m 6= 0 ⇔ (m 6= 0 |m| < 1. Vậy, với m ∈ (−1, 1) \ {0} phương trình có ba nghiệm phân biệt. 4! Nếu các phương pháp nhẩm nghiệm không có tác dụng, ta có thể thử vận dụng kiến thức về phân tích đa thức. VÍ DỤ 17. Giải phương trình x 3 − 3x 2 √3 + 7x − √3 = 0. (1) LỜI GIẢI. Ta có (1) ⇔ x 3 − x 2 √3 − 2x 2 √3 + 6x + x − √3 = 0 ⇔ x 2 (x − √3) − 2x √3(x − √3) + (x − √3) = 0 ⇔ (x − √3)(x 2 − 2x √3 + 1) = 0 ⇔ x − √3 = 0 x 2 − 2x √3 + 1 = 0 ⇔ x = √3 x = √3 ± √2. Vậy, phương trình có ba nghiệm phân biệt x = √3, x = √3 ± √2.