VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 ĐỊNH LÍ Định lí 1. Với A ≥ 0, B ≥ 0 thì p A B p A p B. 2 KHAI PHƯƠNG MỘT TÍCH Quy tắc khai phương một tích: Muốn khai phương một tích các biểu thức không âm ta có thể khai phương từng biểu thức rồi nhân kết quả với nhau. 3 NHÂN CÁC CĂN THỨC BẬC HAI Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: Muốn nhân các căn thức bậc hai của các biểu thức không âm ta có thể nhân các biểu thức dưới dấu căn với nhau rồi lấy căn bậc hai của kết quả đó.B CÁC DẠNG TOÁN Ví dụ 1. Sử dụng quy tắc khai phương một tích, tính 1 p 259 2 Lời giải. Nhận xét. Trong câu thứ ba, nếu chúng ta vận dụng một cách máy móc quy tắc khai phương một tích sẽ không nhận được kết quả gọn. Ví dụ 2. Sử dụng quy tắc nhân các căn thức bậc hai, tính p2 3a, với a > 0. Lời giải. Nhận xét. Trong câu thứ ba, chúng ta đã sử dụng hằng đẳng thức (a − b)(a + b) = a2 − b2.
Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức sau pa4(3 − a) với a ≥ 3 6(a − b) với a < b < 0. Lời giải. 1 Với a ≥ 3 thì 3 − a ≤ 0, ta có pa4(3 − a) 2 Với a < b < 0 thì a − b < 0, ta có 1 a b p a Ví dụ 4. Thực hiện phép tính Nhận xét: Như vậy trong câu thứ ba, bằng việc sử dụng hằng đẳng thức chúng ta đã giảm được đáng kể độ phức tạp. Ví dụ 5. So sánh p16 + 4 với p16 2 Chứng minh rằng pa + b ≤ pa + pb với mọi a, b không âm. 2 Hai vế của bất đẳng thức luôn không âm nên bình phương hai vế, ta được ab ≥ 0 (luôn đúng). Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0. Do đó p a b ≤ pa pb với mọi a, b không âm. Nhận xét. Cách đặt vấn đề của ví dụ trên, giúp chúng ta tiếp cận với bất đẳng thức trước khi đi chứng minh nó. Tuy nhiên, nếu đặt vấn đề theo kiểu ngược lại, chúng ta sẽ được quyền sử dụng bất đẳng thức này để đưa ra đánh giá cho phép so sánh.
Ví dụ 6. 1 Chứng minh rằng |ac + bd| ≤ p(a2 + b2)(c2 + d2) (Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ki). 2 Biết x2 + y2 = 52. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 3x + 2y. Lời giải. 1 Hai vế của bất đẳng thức luôn không âm nên bình phương hai vế, ta được (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) ⇔ (ad − bc)2 ≥ 0 (luôn đúng). Dấu “=” xảy ra khi bc = ad hay a = kc, b = kd. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ta có |A| = |3x + 2y| ≤ p. Dấu “=” xảy ra khi x = 3k và y = 2k, do đó x2 + y2 = 52 ⇔ (3k)2 +(2k)2 = 52 ⇔ 13k2 = 52 ⇔ k2 = 4 ⇔ k = ±2. Vậy Amax = 26 khi (x;y) = (6;4). Amin = −26 khi (x;y) = (−6;−4). Ví dụ 7. Cho biểu thức A = 2x2 − ax − 3a2 − 5ax + 3a2. 1 Rút gọn biểu thức A. Chứng minh rằng A Lời giải. 1 Điều kiện xác định x 6 1 Rút gọn biểu thức A. 2 Tính giá trị của A, biết a − b = 1. Lời giải. 1 Điều kiện xác định là 1 Tìm x để A có nghĩa. 2 Tìm x để B có nghĩa. 3 Với giá trị nào của x thì A = B? Với giá trị nào của x thì chỉ A có nghĩa còn B không có nghĩa? Biểu thức A có nghĩa khi (x − 1)(x − 2) ≥ 0. Ta lập bảng xét dấu của (x − 1)(x − 2).
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy (x − 1)(x − 2) ≥ 0 khi x ≤ 1 hoặc x ≥ 2. Vậy A có nghĩa khi x ≤ 1 hoặc x ≥ 2. 2 Biểu thức B có nghĩa khi ⇔ x ≥ 2. Vậy B có nghĩa khi x ≥ 2. 3 Khi A = B, tức là (x − 1)(x − 2) = px − 1 Vậy với x ≥ 2 thì A = B. 4 Dựa vào điều kiện có nghĩa của A và B ta có ngay với x ≤ 1 thì chỉ A có nghĩa còn B không có nghĩa. Ví dụ 10. Cho a, b, c và a0, b0, c0 là số đo các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng. Chứng minh rằng p Lời giải. Giả sử hai tam giác đồng dạng với tỉ số k, suy ra a0 = kc. Khi đó, ta biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng pka2 + pkb2 + pkc2 = p (luôn đúng). Vậy ta có điều phải chứng minh. Nhận xét. Như vậy, trong lời giải trên để chứng minh đẳng thức chúng ta đã sử dụng cách “Biến đổi tương đương đẳng thức về đẳng thức đúng”. Tuy nhiên, ta cũng có thể sử dụng cách biến đổi một vế thành vế còn lại. Qua cách biến đổi trên, chúng ta thấy ngay rằng việc sử dụng quy tắc khai phương một tích có thể giúp làm xuất hiện nhân tử chung trong một biểu thức. Nhận định này sẽ giúp chúng ta trong việc biến đổi biểu thức về dạng tích và được sử dụng nhiều trong dạng toán “Giải phương trình chứa căn bậc hai”.