Đường kính và dây cung của đường tròn

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Đường kính và dây cung của đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.

Nội dung bài viết Đường kính và dây cung của đường tròn:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 SO SÁNH ĐỘ DÀI CỦA ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn. 2 QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY Ta có các kết quả sau: Đường kính vuông góc với một dây thì chia dây ấy ra làm hai phần bằng nhau. Đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì vuông góc với dây ấy. B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1 GIẢI BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH VÀ ĐỊNH LƯỢNG Ví dụ 1. Cho đường tròn (O;R) và một dây cung AB = 2a (a < R). Gọi I là trung điểm của AB. Tia OI cắt cung AB tại M. Tính độ dài của dây cung M A. Lời giải. Trong 4AM I, ta có : AM2 = AI2 + M I2 = a 2 + M I2. (1) Mặt khác: M I = OM −OI = R −OI. Trong tam giác OAI, ta có : OI2 = OA2 − AI2 = R 2 − a 2 ⇒ OI = p R2 − a 2 ⇒ M I = R − p R2 − a 2 (2) M A B I O Thay (2) vào (1), ta được: AM2 = AI2 + M I2 = a 2 + R − p R2 − a 2 2 = a 2 + R 2 −2R p R2 − a 2 + R 2 − a 2 = 2R 2 −2R p R2 − a 2 ⇒ AM = » 2R2 −2R p R2 − a 2. Vậy độ dài dây cung AM = p 2R2 −2R p R2 − a 2. Nhận xét. Trong lời giải trên để tính độ dài dây cung AM chúng ta lựa chọn phương pháp trình bày theo hướng phát sinh yêu cầu rồi thực hiện yêu cầu này để đạt được mục đích cuối cùng là AM, cụ thể: AM2 = AI2 + M I2 = a 2 + M I2 ⇒ cần xác định M I. M I = OM −OI = R −OI ⇒ cần xác định OI. OI được xác định dựa vào tam giác OAI. Từ đó thay ngược lại kết quả để nhận được AM. Cách trình bày như vậy sẽ rất dễ hiểu, tuy nhiên nó lại tỏ ra dài dòng, chính vì lý do này mà các em học sinh hãy lưu trữ nó trong suy nghĩ còn khi trình bày lời giải thì trình bày theo kiểu ngược lại, cụ thể: Suy nghĩ Trình bày 1. Để tính AM cần xác định M I Trong tam giác OAI, ta có 2. Để tính M I cần xác định OI. OI2 = OA2 − AI2 = R 2 − a 2 3. OI được xác định dựa vào 4OAI ⇒ OI = p R2 − a 2 Suy ra M I = OM −OI = R − p R2 − a 2. Trong 4AM I, ta có: AM2 = AI2 + M I2 = a 2 + R − p R2 − a 2 2 ⇒ AM = p 2R2 −2R p R2 − a 2. Các em học sinh có thể luyện tập bằng việc giải lại ví dụ trên trong trường hợp R = 5cm và a = 3cm. Ví dụ 2. Cho đường tròn (O), dây AB = 2a và khoảng cách từ nó tới tâm bằng h. Gọi I là trung điểm của AB. Tia OI cắt đường tròn tại C. 1 Chứng minh rằng 4ABC là tam giác cân. 2 tính khoảng cách từ O đến BC. Lời giải. 1 Ta có: AI = IB = a ⇒ OI ⊥ AB. Suy ra 4ABC có trung tuyến CI là đường cao nên là tan giác cân. 2 Hạ OH vuông góc với BC, ta có: HB = HC = 1 2 BC. Trong tam giác OIB, ta có: OB2 = IO2 + IB2 = h 2 + a 2 ⇒ OB = p a 2 + h 2. Ta có: IC = IO +OC = IO +OB = h+ p a 2 + h 2. Trong 4IBC có : BC2 = IC2+IB2 = h+ p a 2 + h 2 2 +a 2 = 2 a 2 + h p a 2 + h 2 + h 2 A I B O H C ⇒ BC = q 2 a 2 + h p a 2 + h 2 + h 2 ⇒ HB = 1 2 q 2 a 2 + h p a 2 + h 2 + h 2. Trong tam giác OHB, ta có OH2 = OB2 − HB2 = p a 2 + h 2 2 − · 1 2 … 2 a 2 + h p a 2 + h 2 + h 2 ¸2 = 1 2 a 2 + h p a 2 + h 2 + h 2 ⇒ OH = a 2 − h p a 2 + h 2 + h 2 2 Nhận xét. Trong lời giải trên : 1. Ở câu a) ta chỉ sử dụng kết quả “Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung thì vuông góc với dây cung ấy”, từ đó dẫn tới tam giác có trung tuyến là đường cao do đó nó là tam giác cân. 2. Ở câu b) chúng ta đã lựa chọn phương pháp trình bày ngược sau suy nghĩ kiểu phát sinh yêu cầu, cụ thể ta nghĩ: Để tính OH cần xác định BH và OB. BH = 1 2 BC và BC được xác định thông qua 4IBC nếu biết OC (tức là OB). OB được xác định thông qua 4OIB. 3. Tất nhiên có thể tính OH thông qua sự đồng dạng của hai tam giác vuông là 4OHC và 4BIC. Bạn đọc tự làm. Các em có thể luyện tập bằng việc giải lại các ví dụ trên trong trường hợp a = 24cm và h = 7cm. Ví dụ 3. Cho một đường tròn (O) và điểm P ở bên trong đường tròn. Chứng minh rằng trong tất cả các dây cung đi qua P thì dây cung vuông góc với bán kính qua P là dây cung ngắn nhất. Lời giải. Gọi AB là dây cung qua P và vuông góc với OP và CD là dây bất kỳ đi qua P. Hạ OH vuông góc với CD, ta có ngay: OH ≤ OP, vì trong tam giác vuông cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền ⇒ AB ≤ CD ⇒ AB ngắn nhất. O D A H B C P 2 GIẢI BÀI TOÁN DỰNG HÌNH Ví dụ 4. Cho một đường tròn (O) và một điểm P khác O ở bên trong đường tròn. Dựng một dây cung AB đi qua P sao cho P A = PB. Lời giải. Phân tích: Giả sử đã dựng được dây AB đi qua P sao cho P A = PB, ta có: P A = PB ⇒ OP ⊥ AB. Cách dựng: Dựng đường thẳng (d) qua P và vuông góc với OP cắt (O) tại hai điểm A, B. Chứng minh: Vì OP ⊥ AB ⇒ P A = PB. Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình. Lưu ý: Nếu P ≡ O, bài toán có vô số nghiệm hình. O A B P 3 GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH Ví dụ 5. Cho đường tròn (O;R). Tìm quỹ tích trung điểm M của dây AB sao cho AOB = 120◦ Lời giải. Phần thuận: Giả sử có điểm M là trung điểm của dây AB sao cho AOB = 120◦. Trong tam giác OAM, ta có: AOM = 60◦ ⇒ OAM = 30◦ ⇒ OM = 1 2 OA = R 2 ⇒ M ∈ µ O; R 2 . O A B M Phần đảo: Lấy một điểm M bất kỳ trên đường tròn µ O; R 2, dựng dây cung AB qua M và vuông góc với OM. Ta phải chứng minh AOB = 120◦. Thật vậy, trong 4OAM vuông tại M, ta có: OM = 1 2 OA ⇒ OAM = 30◦ ⇔ AOM = 60◦ ⇔ AOB = 2AOM = 120◦. Kết luận: Quỹ tích điểm M là đường tròn µ O; R 2 . C BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Cho đường tròn (O;R) và hai bán kính OA, OB. Trên các bán kính OA, OB lần lượt lấy các điểm M, N sao cho OM = ON. Vẽ dây CD đi qua M và N (M nằm giữa C và N) 1 Chứng minh rằng CM = DN. 2 Giả sử AOB = 90◦, hãy tính OM, ON theo R sao cho CM = MN = ND. Lời giải. 1 Hạ OE vuông góc với AB cắt CD tại F. Trong tam giác OAB cân tại O, ta có: OM OA = ON OB ⇒ MN ∥ AB ⇔ OF ⊥ MN và MF = NF. Ta nhận xét thêm: OF ⊥ MN ⇔ OF ⊥ CD ⇔ CF = DF. Khi đó : CM = CF − MF = DF − NF = DN (đpcm). B F D A C O M N E 2 Đặt MF = x, suy ra CF = CM + MF = MN + MF = 3MF = 3x. OF = x, vì 4OMF vuông cân tại F. Trong tam giác OCF, ta có OF2 = OC2 −CF2 ⇔ x 2 = R 2 −9x 2 ⇔ 10x 2 = R 2 ⇔ x = R p 10. Khi đó ta được: ON = OM = OFp 2 = R p 10 · p 2 = R p 5. Vậy với ON = OM = R p 5 thỏa mãn điều kiện bài toán. Bài 2. Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của OA và OB. Qua M và N lần lượt vẽ các dây cung CD và EF song song với nhau (C và E cùng nằm trên một nửa đường tròn đường kính AB). 1 Chứng minh tứ giác CDFE là hình chữ nhật. 2 Giả sử CD và EF cùng tạo với AB một góc nhọn là 30◦, tính diện tích hình chữ nhật CDFE. Lời giải. 1 Hạ OP vuông góc với CD cắt EF tại Q, suy ra: CP = DP, tính chất đường kính vuông góc với dây cung. OQ ⊥ EF vì EF ∥ CD. ⇒ EQ = FQ, tính chất đường kính vuông góc với dây cung. Xét hai tam giác vuông 4OPM và 4OQN, ta có: OM = 1 2 OA = 1 2 OB = ON MOP = NOQ (vì đối đỉnh) do đó: 4OPM = 4OQN (cạnh huyền và góc nhọn) ⇒ OP = OQ ⇔ CD = EF. Khi đó, tứ giác CDFE có CD ∥ EF và CD = EF nên CDFE là hình bình hành. Trong hình bình hành CDFE, ta có: PQ là đường trung bình ⇒ PQ ∥ CE ⇒ CD ⊥ CE ⇒ CDFE là hình chữ nhật. B C E A M P N O D F Q 2 Ta có: SCDFE = CD ·CD. (1) Trong 4OPM vuông tại P, với OMP = 30◦, suy ra: OP = 1 2 OM = 1 2 · 1 2 OA = R 4. CE = PQ = 2OP = R 2. (2) Trong tam giác OPC vuông tại P, ta có: CP = p OC2 −OP2 = R2 − R 2 16 = R p 15 4. CD = 2CP = R p 15 2. (3) Thay (2), (3) vào (1), ta được: SCDEF = R 2 · R p 15 2 = R 2 p 15 4. Bài 3. Cho 4ABC có ba góc nhọn. Ở phía ngoài tam giác vẽ các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC. Qua A vã đường thẳng (d) cắt các nửa đường tròn trên theo thứ tự ở E và F. Chứng minh rằng 1 Nếu (d) song song với BC thì BEFC là hình chữ nhật. 2 Nếu (d) vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC thì AE = AF. Lời giải. Rõ ràng nếu (d) ∥ BC ⇒ EF ∥ CD nên tứ giác BCFE là hình thang. Mặt khác, EFC = FEB = 90◦ nên BEFC là hình chữ nhật. 2 Rõ ràng nếu (d) ⊥ AM ⇒ AM ∥ EB ∥ FC vì cùng vuông góc với (d). Vậy AM là đường trung bình của hình thang BEFC nên A là trung điểm của EF hay AE = AF.