VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Giải bài toán chuyển động bằng cách lập hệ phương trình, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Giải bài toán chuyển động bằng cách lập hệ phương trình:
Phương pháp giải: VÍ DỤ 1. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu. LỜI GIẢI. 1 Lập hệ phương trình. Lựa chọn ẩn. Gọi x là thời gian dự định đi lúc đầu, điều kiện x > 0. Gọi y độ dài quãng đường AB, điều kiện y > 0. Thiết lập hai phương trình Với giả thiết: + Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến chậm mất 2 giờ, ta được: y 35 = x + 2 ⇔ 35x − y = −70. (1) + Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến sớm hơn 1 giờ, ta được: y 35 = x − 1 ⇔ 50x − y = 50. (2) Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: (35x − y = −70 50x − y = 50. (I) 2 Giải hệ phương trình. (I) ⇔ (15x = 120 50x − y = 50 ⇔ (x = 8 y = 350,thỏa m n điều kiện. 3 Kết luận. Vậy quãng đường AB bằng 350km và thời gian dự định đi lúc đầu là 8 giờ. 4! Nhận xét: Như vậy trong lời giải của ví dụ trên, ta thấy: 1 Chúng ta lựa chọn hai ẩn x, y tương ứng cho hai giá trị cần tìm là độ dài quãng đường AB và thời gian dự kiến. 2 Việc thiết lập các phương trình (1) và (2) dựa trên phép so sánh thời gian tới đích với thời gian dự kiến. Tuy nhiên, cũng có thể lập luận theo kiểu khác, cụ thể: Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến chậm mất 2 giờ, tức là số thời gian chạy bằng x + 2, do đó: 35(x + 2) = y, (vận tốc × thời gian = quãng đường). Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến sớm hơn 1 giờ, tức là số thời gian chạy bằng x − 1, do đó: 50(x − 1) = y, (vận tốc × thời gian = quãng đường). 3 Lời giải được trình bày thành ba phần độc lập nhau, với mục đích minh họa để giúp các em học sinh hiểu được cách trình bày bài toán theo thuật toán đ được chỉ ra. Tuy nhiên, kể từ các ví dụ sau chúng ta không cần phân tách như vậy mà chỉ yêu cầu các em học sinh khi đọc phải biết mình đang ở bước nào.
VÍ DỤ 2. Lúc 7 giờ một người đi xe máy khởi hành từ A với vận tốc 40km/h. Sau đó, lúc 8 giờ 30 phút, một người khác cũng đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 60km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ? LỜI GIẢI. Ta thực hiện đổi đơn vị: 8 giờ 30 phút = 8 + 30 60 = 17 2 (giờ). Gọi x là thời gian hai người gặp nhau, điều kiện x > 17 2. Gọi y là độ dài quãng đường từ A tới điểm gặp nhau, điều kiện y > 0. Với giả thiết: Người thứ nhất đi với vận tốc 40km/h và xuất phát lúc 7 giờ, ta được: 40(x − 7) = y ⇔ 40x − y = 280. (1) Người thứ hai đi với vận tốc 60km/h và xuất phát lúc 8 giờ 30 phút, ta được: 60 x − 17 2 = y ⇔ 60x − y = 510. (2) Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình (40x − y = 280 60x − y = 510 ⇔ x = 11 1 2 = 11 giờ 30 phút y = 180. Vậy họ gặp nhau lúc 11 giờ 30 phút. 4! Nhận xét: Như vậy, trong lời giải của ví dụ trên ta thấy: 1 Cho dù bài toán chỉ yêu cầu “Tìm thời điểm hai người gặp nhau ”tương ứng với một ẩn xong chúng ta lại lựa chọn hai ẩn (một ẩn được đề xuất) để chuyển bài toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Khi đó: Phương trình (1) được thiết lập dựa trên chuyển động của người thứ nhất. Phương trình (2) được thiết lập dựa trên chuyển động của người thứ hai. 2 Để học sinh tiện so sánh, sau đây sẽ là lời giải khi ta lưa chọn hướng lập phương trình. Giả sử điểm họ gặp nhau là B. Gọi quãng đường AB là x, điều kiện x > 0. Suy ra: Thời gian người thứ nhất đi từ A đến B là x 40. Thời gian người thứ hai đi từ A đến B là x 60. Vì người thứ nhất đi sau người thứ hai 1 giờ 30 phút nên ta có: x 40 = x 60 + 3 2 ⇔ 3x = 2x + 180 ⇔ x = 180. Vậy điểm gặp nhau của hai người cách A là 180km. Để đi được quãng đường này: Người thứ nhất phải đi mất 180 40 = 4 1 2 (giờ). Người thứ hai phải đi mất 180 60 = 3 (giờ). Vậy họ gặp nhau lúc 11 giờ 30 phút. VÍ DỤ 3. Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3.6km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trong trường hợp trên, nhưng người đi chậm xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người. LỜI GIẢI. Đổi 6 phút = 1 10 giờ. Gọi x là vận tốc của người đi nhanh hơn (x > 0, đơn vị km/h). Gọi y là vận tốc của người đi chậm hơn (y > 0, đơn vị km/h).
Hai người khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2km (nghĩa là cách B là 1.6km). Lúc đó Người đi nhanh mất 2 x (h). Người đi chậm mất 1.6 y (h). Do đó, ta có phương trình 2 x = 1.6 y. (1) Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trong trường hợp trên, nhưng người đi chậm xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau chính giữa quãng đường. Lúc đó: Người đi nhanh mất 1.8 x (h). Người đi chậm mất 1.8 y + 1 10 (h). Do đó, ta có phương trình 1.8 x = 1.8 y + 1 10. (2) Từ (1) và (2) ta có hệ 2 x = 1.6 y 1.8 x = 1.8 y + 1 10 ⇔ (x = 2.5 y = 2. Vậy vận tốc của người đi nhanh là 2.5km/h và vận tốc của người đi chậm là 2km/h. VÍ DỤ 4. Hai cano cùng khởi hành từ bến A và B cách nhau 85km, đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi cano. Biết rằng cano đi xuôi lớn hơn vận tốc riêng của cano đi ngược 9km/h và vận tốc nước là 3km/h. LỜI GIẢI. Ta thực hiện đổi đơn vị: 1 giờ 40 phút = 1 + 40 60 = 5 3 giờ. Gọi x là vận tốc riêng của cano đi xuôi dòng, điều kiện x > 0. Do đó, khi đi xuôi dòng nó đi với vận tốc (x + 3)km/h. Gọi y là vận tốc riêng của cano đi ngược dòng, điều kiện y > 3. Do đó, khi đi ngược dòng nó đi với vận tốc (y − 3)km/h. Với giả thiết: Vận tốc riêng của cano đi xuôi lớn hơn vận tốc riêng của cano đi ngược 9km/h, ta được: x − y = 9. (1) Sau 1 giờ 40 phút hai cano gặp nhau, ta được: 5 3 [(x + 3) + (y − 3)] = 85 ⇔ x + y = 51. (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (x − y = 9 x + y = 51 ⇔ (x = 30 y = 21. Vậy vận tốc riêng của cano đi xuôi bằng 30km/h, vận tốc riêng của cano đi ngược bằng 21km/h. 4! Chú ý: Nếu thay giả thiết “Vận tốc riêng của cano đi xuôi lớn hơn vận tốc riêng của cano đi ngược 9km/h ”bằng “Vận tốc cano đi xuôi lớn hơn vận tốc cano đi ngược 9km/h ”thì phương trình được minh họa bằng (x + 3) − (y − 3) = 9 ⇔ x − y = 15. Khi đó, hệ phương trình có dạng (x − y = 15 x + y = 51 ⇔ (x = 33 y = 18. Vậy vận tốc riêng của cano đi xuôi bằng 33km/h, vận tốc riêng của cano đi ngược bằng 18km/h. VÍ DỤ 5. Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính 20cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật. LỜI GIẢI. Gọi x và y là vận tốc của các vật (x, y > 0, đơn vị cm/s). Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau. Do đó, ta có 20π x − y = 20. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau. Do đó, ta có 20π x + y = 4. Ta có hệ phương trình 20π x − y = 20 20π x + y = 4 ⇔ (20π = 20x − 20y 20π = 4x + 4y ⇔ (x = 3π y = 2π. Vậy vận tốc vật thứ nhất là 3πcm/s và vận tốc vật thứ hai là 2πcm/s.