VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Phương trình bậc nhất hai ẩn số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Phương trình bậc nhất hai ẩn số:
TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình dạng ax + by = c. Trong đó: a, b, c là hằng số và a, b không đồng thời bằng không. x, y là hai ẩn số. Từ đó ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1. Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn là các cặp giá trị (x1; y1), (x2; y2),… của hai ẩn số x và y thỏa mãn tính chất “khi thay vào phương trình thì giá trị tương ứng của hai biểu thức ở hai vế của phương trình bằng nhau ”. 2. Cách giải Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn đều có vô số nghiệm. Tập hợp các nghiệm của phương trình được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng, gọi là đường thẳng ax + by = c (mỗi điểm của đường thẳng ax + by = c biểu diễn một cặp nghiệm (x; y) của phương trình). Nếu a 6= 0, b 6= 0 thì đường thẳng đó là đồ thị của hàm số bậc nhất y = − a b + c b. Nếu a = 0, b 6= 0 thì đường thẳng đó là đồ thị của hàm số y = c b. Đó là đường thẳng song song với Ox nếu c 6= 0, trùng với Ox nếu c = 0. Nếu a 6= 0, b = 0 thì đường thẳng đó có dạng x = c a. Đó là đường thẳng song song với Oy nếu c 6= 0, trùng với Oy nếu c = 0. 4! Chú ý: 1. Đường thẳng x = c a không phải là đồ thị của hàm số. 2. Với yêu cầu giải phương trình ax + by = c, ta thường thực hiện ba công việc: Biến đổi để chỉ ra một vài nghiệm cụ thể của phương trình. Viết được công thức nghiệm tổng quát của phương trình. Biểu diễn nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ.
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VÍ DỤ 1. Trong các cặp số (−2; 1),(0; 2),(−1; 0),(1; 5) và (4; −3) cặp số nào là nghiệm của phương trình a) 5x + 4y = 8. b) 3x + 5y = −3. LỜI GIẢI. Để giải dạng toán này, ta thay các cặp số đã cho vào vế trái của biểu thức. Số thứ nhất thay vào biến x, số thứ hai thay vào biến y và tính toán. Nếu kết quả có được bằng vế phải thì cặp số đã cho là nghiệm của phương trình. Nếu kết quả có được không bằng vế phải thì cặp số đã cho không là nghiệm của phương trình. a. Xét phương trình 5x + 4y = 8. Với cặp số (−2; 1). Ta có 5(−2) + 4 · 1 = −6 6= 8. Do đó cặp số (−2; 1) không là nghiệm của phương trình. Với cặp (0; 2). Ta có 5 · 0 + 4 · 2 = 8. Do đó, cặp số (0; 2) là nghiệm của phương trình. Với cặp số (−1; 0). Ta có 5 · (−1) + 4 · 0 = −5 6= 8. Do đó, cặp số (−1; 0) không là nghiệm của phương trình. Với cặp số (1,5; 3). Ta có 5 · 1,5 + 4 · 3 = 19,5 6= 8. Do đó, cặp số (1,5; 3) không phải là nghiệm của phương trình. Với cặp số (4; −3). Ta có 5 · 4 + 4 · (−3) = 8. Do đó, cặp số (4; −3) là nghiệm của phương trình. b. Xét phương trình 3x + 5y = −3. Các cặp (−1; 0) và (4; −3) là nghiệm của phương trình. Các cặp (−2; 1), (0; 2) và (1,5; 3) không là nghiệm của phương trình. VÍ DỤ 2. Giải phương trình x − 2y = 6.
LỜI GIẢI. Thực hiện việc biến đổi phương trình về dạng x = 2y + 6. Tới đây, cho y các giá trị tùy ý chúng ta sẽ tính được giá trị tương ứng của x, cụ thể: Với y = −4 ⇒ x = 2 · (−4) + 6 = −2 ⇒ cặp (−2; −4) là một nghiệm. Với y = 0 ⇒ x = 2 · 0 + 6 = 6 ⇒ cặp (6; 0) là một nghiệm. Vì y có thể lấy giá trị tùy ý, nên phương trình có vô số nghiệm, dạng tổng quát của nghiệm là (x = 2y + 6; y R) hoặc viết (2y + 6; y). Nhận xét. 1. Vì vai trò của x, y trong phương trình như nhau nên có thể giải phương trình theo cách: Thực hiện việc biến đổi phương trình về dạng y = x − 6 2. Tới đây, cho x các giá trị tùy ý chúng ta sẽ tính được giá trị tương ứng của y, cụ thể: Với x = 0 ⇒ y = −3 ⇒ cặp số (0; −3) là một nghiệm của phương trình. Với x = 2 ⇒ y = −2 ⇒ cặp số (2; −2) là một nghiệm của phương trình. Vì x có thể lấy giá trị tùy ý nên phương trình đã cho có vô số nghiệm, dạng tổng quát của nghiệm là Å x; x − 6 2 ã. 2. Tập nghiệm của phương trình x − 2y = 6 ⇔ y = 1 2 x − 3 là một đường thẳng. VÍ DỤ 3. Giải phương trình 0x + 2y = 12. LỜI GIẢI. Thực hiện việc biến đổi phương trình về dạng 2x = 12 ⇔ y = 6. Tới đây, cho x các giá trị tùy ý ta luôn nhận được y = 6. Do đó các cặp số (−81; 6),(33; 6),… đều là nghiệm của phương trình. Vậy, phương trình có vô số nghiệm, dạng tổng quát của nghiệm là (x R; y = 6) hoặc viết (x; 6).
Nhận xét. 1. Vì hệ số của x trong phương trình bằng 0 nên không thể giải phương trình theo x được. 2. Tập các nghiệm của phương trình: 0x + 2y = 12 ⇔ y = 6 là một đường thẳng song song với Ox và cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 6. Tổng quát: Phương trình y = m có vô số nghiệm dạng (x; m), biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đường thẳng song song với Ox và cắt Oy tại điểm có tung độ bằng m nếu m 6= 0, trùng với Ox nếu m = 0. VÍ DỤ 4. Giải phương trình 6x − 0y = 18. LỜI GIẢI. Thực hiện việc biến đổi phương trình về dạng 6x = 18 ⇔ x = 3. Tới đây, cho y các giá trị tùy ý ta luôn nhận được x = 3. Do đó, các cặp số (3; 2005),(3; 1989),… đều là nghiệm của phương trình. Vậy phương trình có vô số nghiệm, dạng tổng quát của nghiệm là (3; y R) hoặc viết (3; y). Nhận xét. 1. Vì hệ số của y trong phương trình bằng 0 nên không thể giải phương trình theo y được. 2. Tập nghiệm của phương trình 6x − 0y = 18 ⇔ x = 3 là một đường thẳng song song với Oy và cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 3. Tổng quát: Phương trình x = n có vô số nghiệm dạng (n; y), biểu diễn trễn mặt phẳng tọa độ là đường thẳng song song với Oy và cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng n nếu n 6= 0, trùng với Oy nếu n = 0. VÍ DỤ 5. Cho hai phương trình x + 2y = 4 và x − y = 1. Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình đó trên cùng một hệ tọa độ. Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và cho biết tọa độ của nó là nghiệm của các phương trình nào?