Thực hiện phép tính rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Thực hiện phép tính rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.

Nội dung bài viết Thực hiện phép tính rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai:
Ví dụ 1. Thực hiện phép tính: 1 3p8 2 Ta biến đổi từng thành phần trong biểu thức: 2p2 2 ở đây ta sử dụng phép phân tích tỉ số. Nhận xét. Như vậy với yêu cầu “Thực hiện phép tính” của các biểu thức chứa căn bậc hai chúng ta cần linh hoạt sử dụng bốn quy tắc biến đổi đã biết, cụ thể: Ở câu 1 chúng ta đã sử dụng quy tắc đưa một thừa số ra ngoài dấu căn cho 3p8 đối với 5 ta biến đổi nó về dạng mẫu số bình phương là 5 tất nhiên cũng có thể biến đổi Ở câu 2 mỗi thành phần đều có nhiều cách biến đổi, cụ thể ngoài cách đã trình bày trong lời giải trên chúng ra còn có thể thực hiện như sau: Ví dụ 2. Thực hiện phép tính: A = 15µ 2 Ta có thể làm theo hai cách: Cách 1: Sử dụng phương pháp quy đồng mẫu số, ta có: B = p7 − p6 Cách 2: Sử dụng phương pháp trục căn thức ở mẫu, ta có: B = p7 Nhận xét. Các em học sinh cần phải linh hoạt trong việc lựa chọn cách biến đổi. Trong nhiều bài toán việc trục căn thức ở mẫu sẽ làm cho các bược quy đồng đơn giản hơn nhiều.
Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức sau: A = 2p3x với x, y > 0. Lời giải: Ta biến đổi: A = 2p 2 Với x, y > 0 ta biến đổi: B = xy Nhận xét. Như vậy, với yêu cầu “Rút gọn” các biểu thức chứa căn bậc hai chúng ta vẫn linh hoạt sử dụng bốn quy tắc biến đổi đã biết. Tuy nhiên trong câu b) chúng ta lưu ý tới pa2 từ đó thực hiện thêm việc phá dấu trị tuyệt đối. Ví dụ 4. Chứng minh rằng Lời giải. Nhận xét rằng Nhận xét. Đối với biểu thức đã cho, nếu không khéo léo đánh giá được 5 + 2p mà thực hiện phép nhân liên hợp để khử mẫu thì sẽ nhận được kết quả rất phức tạp. Ví dụ 5. Cho a, b, c, d, A, B, C, D là các số thực dương thỏa mãn: (a + b + c + d)(A + B + C + D). Lời giải. Đặt t = a suy ra a = At b = Bt c = Ct d = Dt. Khi đó đẳng thức được viết lại dưới dạng: (At + Bt + Ct + Dt)(A + B + C + D) (luôn đúng). Ví dụ 6. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = xyz. Chứng minh rằng Ta được đẳng thức điều kiện là: abc ⇔ bc + ca + ab = 1 (1). Và khi đó đẳng thức cần chứng minh có dạng: Cộng theo vế (2), (3), (4) ta nhận được đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ 7. Cho biểu thức: P = µ2 px 1 Rút gọn biểu thức P. Tìm x để P < −1 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Lời giải. 1 Điều kiện: 0 ≤ x khác 9. P ≥ −1. Vậy, suy ra Pmin = −1 đạt được khi x = 0. Ví dụ 8. Tính giá trị của biểu thức: S = a + 1 trong đó a là nghiệm dương của phương trình: 4x2 + p2x Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu nên ta có: 4a2 1 Tìm tập xác định của A. 2 Rút gọn biểu thức A. 3 So sánh A với 3. Lời giải. 1 Điều kiện để biểu thức A có nghĩa: Do đó A −3 ≥ 0 ⇔ A ≥ 3. Nhận xét. Ta có thể thực hiện rút gọn biểu thức A với cách khác như sau: Đặt px = a, 0 < a 6= 1. Ta được A = 1 : µ Thay a = px vào biểu thức A, ta được A = x + p x + 1. Chúng ta đã biết (A + B + C). Việc chứng minh xin dành cho bạn đọc, còn trong mục này ta sẽ đi vào khai thác nó, cụ thể: Như vậy, nếu có điều kiện a + b + c = 0, ta sẽ nhận được µ. Nếu thay c = −(a + b), ta sẽ nhận được Nếu thay a, b, c bởi bộ ba số 1 a b ta sẽ nhận được (a + b)2 (4) Yêu cầu: Các em học sinh sử dụng ý tưởng trên để khai thác cho các hằng đẳng thức: (A + B − C) Sử dụng (2) bằng cách thay a, b, c bởi bộ ba số a 2 b Ví dụ 12. Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng S = (a − b) là số hữu tỉ. Lời giải. Sử dụng (2) bằng cách thay a, b, c bởi bộ ba số (a − b)(b − c)(c − a), ta sẽ nhận được S. Vậy S là sỗ hữu tỉ do giả thiết a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. 1 Tính S2016. 2 Chứng minh rằng với mọi n ≥ 3 thì Sn là số hữu tỉ nhưng không thể là số nguyên. Lời giải. 1 Tính S2016. Sử dụng (2) bằng cách thay a, b, c bởi bộ ba số 1 (n − 1) n ta sẽ nhận được 2 Chứng minh rằng với mọi n ≥ 3 thì Sn là số hữu tỉ nhưng không thể là số nguyên. Dễ thấy ngay được khẳng định “Sn là số hữu tỉ nhưng không thể là số nguyên”.