Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.

Nội dung bài viết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Vị trí tương đối của đường thẳng (d) và đường tròn (O) được đánh giá thông qua số điểm chung của (d) với (O). Bảng tóm tắt ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức giữa d và R 1. Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0 d > R. 2. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn 1 d = R. 3. Đường thẳng cắt đường tròn 2 d < R. B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ví dụ 1. Cho đường thẳng (d) và điểm O không thuộc (d). Hãy nêu cách dựng một đường tròn tâm O sao cho 1 (d) không cắt (O). 2 (d) tiếp xúc (O). 3 (d) cắt (O). Lời giải. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (d). A R O H d (d) R O H d (d) B H R O d (d) 1 Lấy điểm A nằm giữa O và H, rồi vẽ đường tròn (O;OA). Khi đó, đường thẳng (d) không cắt đường tròn (O;OA) bởi R = OA < OH = d. 2 Vẽ đường tròn (O;OH). Khi đó, đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O;OH) bởi R = OH = d. 3 Lấy điểm B nằm trên tia đối của tia HO, rồi vẽ đường tròn (O;OB). Khi đó, đường thẳng (d) cắt đường tròn (O;OB) bởi R = OB > OH > d. Chú ý: Như vậy, để xác định được vị trí tương đối của đường thẳng (d) với đường tròn (O;R) cho trước, ta cần thực hiện các bước sau Bước 1: Hạ OH vuông góc với đường thẳng (d). Bước 2: Tính độ dài đoạn OH. Bước 3: Thực hiện so sánh OH với R, từ đó đưa ra kết luận. Ngoài ra 1. Nếu ta có A (d) và A nằm trong (O;R) ⇒ (d) cắt (O;R) đánh giá này cho phép chúng ta nhận được lời giải đơn giản hơn nhiều. 2. A (d), A (O;R) và OA ⊥ (d) thì (d) tiếp xúc với (O). 3. A (d), A (O;R) và OA không vuông góc với (d) thì (d) cắt đường tròn (O). Ví dụ 2. Cho xA y khác góc bẹt. Dựng đường tròn (O;R) sao cho tia A y qua O, đường thẳng Ax cắt (O) tại hai điểm B và C sao cho BC = 2a với a < R. Lời giải. Phân tích: Giả sử đã dựng được đường tròn (O;R) thỏa mãn điều kiện. Hạ OH ⊥ BC, ta có OH2 = OC2 − HC2 = R 2 − a 2 ⇒ OH = p R2 − a 2 (không đổi) ⇒ O thuộc đường thẳng song song và cách Ax một khoẳng bằng OH. Cách dựng: Ta lần lượt thực hiện x A B C z H A 0 O y R a Dựng tia Az qua A và vuông góc với Ax (về phần mặt phẳng chứa tia A y). Trên tia Az lấy điểm A 0 sao cho A A0 = p R2 − a 2. Dựng đường thẳng (d) qua A 0 và song song với Ax, cắt tia A y ở O. Dựng đường tròn (O;R). Chứng minh: Trước hết theo cách dựng ta có (O;R) và O thuộc A y, ta phải chứng minh BC = 2a. Thậy vậy, hạ OH ⊥ BC, ta có OH = A A0 = p R2 − a 2. BC = 2CH = 2 p OC2 −OH2 = 2 p R2 −(R2 − a 2) = 2a. Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình. Yêu cầu: Các em học sinh hãy thực hiện lại ví dụ trên cho các trường hợp a = R, a > R. Ví dụ 3. Chứng minh rằng 1 Nếu đường thẳng x y không cắt đường tròn (O;R) thì mọi điểm của x y ở bên ngoài đường tròn đó. 2 Nếu đường thẳng x y đi qua một điểm bên trong đường tròn (O;R) thì phải cắt đường tròn này tại hai điểm phân biệt. 3 Nếu đường thẳng x y cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm phân biệt A,B thì mọi điểm nằm giữa hai điểm A và B đều nằm bên trong đường tròn, các điểm còn lại (trừ A,B) nằm bên ngoài đường tròn đó. Lời giải. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng x y. a) Từ giả thiết suy ra OH > R. Gọi A là điểm biển bất kì trên x y, suy ra OA ≥ OH (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông) ⇒ OA > R ⇔ A nằm ngoài đường tròn. Vậy, mọi điểm bất kì của x y ở bên ngoài đường tròn (O;R). x y d R O H A b) Gọi A là điểm ở bên trong đường tròn (O;R) mà đường thẳng x y đi qua, ta có OH ≤ OA < R ⇔ x y và (O;R) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. x y d O H A c) Gọi C là điểm nằm giữa hai điểm A và B đều nằm bên trong đường tròn. Gọi D là điểm bất kì nằm ngoài đoạn AB, ta có HD > H A ⇔ OD > OA = R D nàm ngoài đường tròn (O;R). Vậy, mọi điểm nằm ngoài đoạn AB đều nằm bên ngoài đường tròn. Nhận xét: Trong lời giải trên ngoài việc sử dụng kết quả về vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn, chúng ta còn sử dụng kết quả về vị trí tương đối của điểm với đường tròn, cụ thể với đường tròn (O;R) và điểm M, ta có Nếu OM < R ⇔ M nằm trong đường tròn. Nếu OM = R ⇔ M nằm trên đường tròn. Nếu OM > R ⇔ M nằm ngoài đường tròn. A B D H O C x y C.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1. Cho góc xA y khác góc bẹt. 1 Dựng đường tròn (O;R) có tâm O thuộc A y và tiếp xúc với đường thẳng Ax. 2 Dựng đường tròn (O;R) tiếp xúc với Ax và A y. Lời giải. a) Ta thực hiện theo các bước Phân tích: Giả sử đã dựng được đường tròn (O;R) thỏa mãn điều kiện đầu bài. Hạ OH ⊥ A y, ta có OH = R ⇒ O thuộc đường thẳng (d) song song và cách Ax một khoảng bằng OH ((d) thuộc nữa mặt phẳng chứa Ax có bờ A y). Cách dựng: Ta lần lượt thức hiện Dựng tia Az qua A và vuông góc với Ax (về phần mặt phẳng chứa A y). Trên Az lấy điểm A 0 sao cho A A0 = R. Dựng đường thẳng (d) qua A 0 và song song với Ax, cắt A y ở O. Dựng đường tròn (O;R). x z (d) R A H O y A 0 Chứng minh: Trước hết theo cách dựng ta có (O;R) và O thuộc A y, ta phải chứng minh (O;R) tiếp xúc với Ax. Thậy vậy, hạ OH ⊥ Ax ta có OH = A A0 = R ⇔ (O;R) tiếp xúc với Ax. Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình. b) Ta thực hiện theo các bước Phân tích: Giả sử đã dựng đường tròn (O;R) thỏa mãn điều kiện đầu bài. Vì (O;R) tiếp xúc với Ax và A y nên tâm O thuộc tia phân giác At của góc xA y. Hạ OH ⊥ A y, ta có OH = R ⇒ O thuộc đường thẳng (d) song song và cách Ax một khoảng bằng OH ((d) thuộc nửa mặt phẳng chứa Ax có bờ A y). Cách dựng: Ta lần lượt thực hiện Dựng tia phân giác At của xA y. Dựng tia Az qua A và vuông góc với Ax (về phần mặt phẳng chứa A y). Trên Az lấy điểm A 0 sao cho A A0 = R. Dựng đường thẳng (d) qua A 0 song song với Ax, cắt tiao At ở O. Dựng đường tròn (O;R). x z (d) t R A H O y A 0 Chứng minh: Trước hết theo cách dựng ta có (O;R) và O thuộc At, ta phải chứng minh (O;R) tiếp xúc với Ax và A y. Thật vậy, hạ OH ⊥ Ax, ta có OH = A A0 = R ⇔ d(O, Ax) = d(O,O y) = R ⇔ (O;R) tiếp xúc với Ax và A y. Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình. Bài 2. Cho góc nhọn xA y, điểm C thuộc tia Ax. Dựng đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại C tâm O thuộc tia A y.