VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Sử dụng các phép biến đổi căn thức bậc hai cho bài toán rút gọn và chứng minh đẳng thức, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Sử dụng các phép biến đổi căn thức bậc hai cho bài toán rút gọn và chứng minh đẳng thức:
Ví dụ 8. Rút gọn biểu thức: A = 4p7 − p3 Lời giải. Ta có: A = 4p7 Nhận xét. Nếu thực hiện theo phương pháp “quy đồng mẫu số”, ta được: A = 4p5 bài toán sẽ dừng lại ở đây. Ví dụ 9. Chứng minh rằng: apa + bpb với a, b > 0. Lời giải. Nhận xét rằng: apa + bpb Từ đó, suy ra Nhận xét. Trong lời giải trên, chúng ta dựa trên hằng đẳng thức để phân tích tử số ra thừa số chung từ đó rút gọn được căn thức ở mẫu. Tất nhiên, chúng ta có thể lựa chọn phép nhân liên hợp xong cách giải này phức tạp hơn. Ví dụ 10. Chứng minh rằng: p2008 + p2009 = p2009 − 1. Lời giải. Nhận xét rằng: Thực hiện phép cộng theo vế và rút gọn, ta được (đpcm). Nhận xét. Trong lời giải trên, để chứng minh đẳng thức chúng ta lựa chọn phép nhân liên hợp để khử căn thức ở mẫu cho từng phân số. Và ở đây chúng ta sử dụng phép biến đổi cục bộ.
Ví dụ 11. Cho biểu thức: A 1 Tìm điều kiện để A có nghĩa. 2 Rút gọn A. Tính giá trị của A khi x = p32. Tìm x để p A > A. Lời giải. Điều kiện để A có nghĩa: 1 − x ≥ 0 ⇔ −1 < x < 1. (*) Vậy, điều kiện tồn tại của A là −1 < x < 1. 2 Biến đổi biểu thức về dạng: A = p(1 − x)(1 + x) + 3 3 Trước tiên, ta viết lại x dưới dạng: x = p3 Khi đó, ta suy ra: 4 Để pA > A, điều kiện là: A < 1 ⇔ p1 − x < 1 ⇔ 1 − x < 1 ⇔ x > 0. Vậy với 0 < x < 1 thì p A > A. Ví dụ 12. Cho biểu thức: A = (x − 3 1 Tìm điều kiện để A có nghĩa. 2 Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức A khi x = 1. Lời giải. 1 Điều kiện để A có nghĩa (3 − x)(3 + x) = 0. Lập bảng xét dấu từ đó thu được x < −3 hoặc 0 ≤ x < 3. Vậy, điều kiện tồn tại của A là x < −3 hoặc 0 ≤ x < 3. 2 Từ kết quả câu a suy ra x − 3 < 0, do đó: Nhận xét. Bài toán sẽ có một kết quả sai nếu các em học sinh không đánh giá điều kiện 0 ≤ x < 3, dẫn đến sai lầm trong quá trình biến đổi. Với biến đổi như vậy thì kết quả câu b sẽ là A = p2.