VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Ta có các kết quả sau: 1 Trong một đường tròn hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm. 2 Trong hai dây không bằng nhau của một đường tròn dây lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn. A O B D C l l h h A O B D C l 0 l h h 0 Cả hai kết quả trên vẫn đúng với mọi trường hợp hai đường tròn có bán kính bằng nhau (gọi là hai đường tròn bằng nhau) và nó tỏ ra rất hiệu quả trong bài toán cực trị. B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ví dụ 1. Cho một đường tròn (O) và điểm P ở bên trong đường tròn. Chứng minh rằng trong tất cả các dây cung đi qua P thì dây cung vuông góc với bán kính qua P là dây cung ngắn nhất. Lời giải. Gọi AB là dây cung qua P và vuông góc với OP và CD là dây bất kỳ đi qua P. Hạ OH vuông góc với CD, ta có ngay: OH ≤ OP, vì trong tam giác vuông cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền ⇒ AB ≤ CD ⇒ AB là dây cung ngắn nhất. O D C A H B P C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1. Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC sao cho AB < AC và tâm O nằm trong góc ABC. Chứng minh rằng OAB > OAC. Lời giải. Hạ OE, OF theo thứ tự vuông góc với AB và AC. Từ giả thiết: AB < AC ⇔ OE > OF. Trên OE lấy F 0 sao cho OF0 = OF, ta thấy ngay điểm F 0 nằm giữa O và E, suy ra: OAd > OAF 0 = OAF, vì 4OAF0 = 4OAF (cạnh huyền và cạnh góc vuông) ⇔ OAB > OAC (đpcm). O C E A F B F 0 Bài 2. Cho đường tròn (O). Tìm quỹ tích trung điểm M của các dây AB sao cho AOB = 60◦.
Lời giải. Phần thuận: Giả sử M là trung điểm của dây AB sao cho AOB = 60◦. Trong tam giác OAB, ta có : OA = OB = R, AOB = 60◦. ⇒ 4OAB đều ⇒ OM = OAp 3 2 = R p 3 2 ⇒ M ∈ O; R p 3 2 !. O A B M Phần đảo: Lấy một điểm M bất kỳ trên đường tròn O; R p 3 2 !, dựng dây cung AB qua M và vuông góc với OM. Ta phải chứng minh AOB = 60◦. Thật vậy, trong tam giác OAB cân tại O, ta có : OM = R p 3 2 = OAp 3 2 ⇒ 4OAB đều ⇒ AOB = 60◦. Kết luận: Quỹ tích của điểm M là đường tròn O; R p 3 2 !. Bài 3. Cho đường tròn (O) và một điểm A ở bên trong đường tròn đó (A khác O). Dựng hình thoi ABCD sao cho B, C, D nằm trong đường tròn (O).
Lời giải. Phân tích: Giả sử đ dựng được hình thoi ABCD thỏa m n điều kiện đầu bài, ta có: AC là đường trung trực của BD ⇒ O ∈ AC. Cách dựng: Ta lần lượt thưc hiện: Nối AO cắt đường tròn (O) tại C, lấy I là trung điểm của AC. Dựng đường thẳng d qua I và vuông góc với AC cắt đường tròn (O) tại B và D. Khi đó, ABCD là hình thoi cần dựng. Chứng minh: Vì tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình thoi. Biện luận: Vì OA cắt đường tròn (O) tại hai điểm C1 và C2 nên bài toán có hai nghiệm hình.