Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.

Nội dung bài viết Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau:
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Với hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm, ta có kết quả “Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm của đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến”. Như vậy: AB và AB0 là hai tiếp tuyến của (O) ⇒ ( AB = AB0 OAB = OAB 0. A B 0 O B 1 ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC Định nghĩa 1. Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác. Khi đó, 1 Tam giác đó gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn. 2 Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác (trong thực tế ta chỉ cần lấy giao điểm của hai đường phân giác bởi trong một tam giác ba đường phân giác đồng quy). A B O C 2 ĐƯỜNG TRÒN BÀNG TIẾP TAM GIÁC Định nghĩa 2. Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác. Như vậy, với 4ABC tồn tại ba đường tròn bàng tiếp và tâm của một đường tròn bàng tiếp là giao điểm của một đường phân giác trong với hai phân giác ngoài. A O2 O3 O1 B C B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ví dụ 1. Cho 4ABC, biết BC = 6. Lấy E, F theo thứ tự thuộc AB, AC sao cho EF song song với BC và tiếp xúc với đường tròn nội tiếp 4ABC. Tính chu vi 4ABC, biết EF = 2 cm. Lời giải. Ta có hai 4AEF và 4ABC đồng dạng, do đó: EF BC = AE AB. (1) Ta có: ½ c = AB = AM + MB = AM + NB. b = AC = AP + PC = AM + NC. ⇒ b + c = 2AM +BC = 2AM +6. ⇔ AM = AP = 1 2 (b + c − a) = p − a. (2) ½ AM = AE + EM = AE + EQ. AM = AP = AF + FP = AF + FQ. ⇒ 2AM = AE + AF + EF. ⇔ AM = AP = p4AEF. (3) A B M E O C P F Q N Thay (2), (3) vào (1), ta được: 2 6 = p −6 p ⇔ p = 9 cm. Vậy chu vi của 4ABC bằng 18 cm. Ví dụ 2. Cho 4ABC có độ dài ba cạnh a,b, c và diện tích bằng S. Đường tròn nội tiếp 4ABC tiếp xúc với các cạnh BC,C A, AB theo thứ tự tại A1, B1, C1. Giả sử 4A1B1C1 có độ dài ba cạnh tương ứng là a1, b1, c1. Chứng minh rằng a1 a + b1 b = 2 µ sin A 2 +sin B 2.sin C 2. Lời giải. Trong 4A1B1C1 ta có: a1 = B1C1 = 2r.sin A1 = 2r.sin 2 = 2r.sin π− A 2 = 2r.cos A 2. Tương tự ta được b1 = 2r.cos B 2. Trong 4BIC, ta có: a = BC = BA1 +C A1 = r.cot B 2 + r.cot C 2 = r. sin B +C 2 sin B 2.sin C 2 = r.cos A 2 sin B 2.sin C 2.
Tương tự ta được b = cos B 2 sin A 2.sin C 2. Từ đó: a1 a + b1 b = 2sin B 2.sin C 2 +2sin A 2 +sin C 2 = 2 µ sin A 2 +sin B 2.sin C 2. A B C1 C B1 I A1 Ví dụ 3. Cho đường tròn (O), còn B là điểm di động trên (O). Các tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại C. Tìm tập hợp tâm đường tròn nội tiếp 4ABC. Lời giải. Gọi I là giao điểm của OC với (C), ta có ngay AI là phân giác góc A, từ đó suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp 4ABC. Vậy tập hợp tâm I thuộc đường tròn (C) ngoại trừ ba điểm A, A1, A2, trong đó A1A2 là đường kính vuông góc với OA. A O I C B C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1. Cho 4ABC đều. 1 Hãy nêu cách dựng tiếp tuyến a của đường tròn ngoại tiếp 4ABC, biết tiếp tuyến đi qua điểm A. 2 Khẳng định d ∥ BC đúng hay sai? 3 Hãy nêu cách dựng các tiếp tuyến b, c của đường tròn ngoại tiếp 4ABC, biết rằng các tiếp tuyến này theo thứ tự đi qua điểm B,C. Giả sử b cắt c tại D. 4 Khẳng định 4BCD đều là đúng hay sai? Bài 2. Cho 4ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Đường tròn (I) nội tiếp 4ABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự ở D, E. 1 Tính BIC. 2 Tính diện tích tứ giác AD IE. Bài 3. Cho 4ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A, O là trung điểm của IK. 1 Khẳng định bốn điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O là đúng hay sai? 2 Khẳng định AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) là đúng hay sai? Bài 4. Cho (O;R). Tìm quỹ tích của điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (O;R). Bài 5. Cho đường thẳngd và một điểm A ở trên đường thẳng đó. Tìm tập hợp tâm các đường tròn tiếp xúc với đường thẳng (d) tại điểm A. Bài 6. Cho đường thẳng (d). Tìm tập hợp tâm các đường tròn có bán kính bằng R và tiếp xúc với đường thẳng (d). Bài 7. Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b. Tìm tập hợp các đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng đó. Bài 8. Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định trên đường tròn đó. Qua A, kẻ tiếp tuyến x y. Từ điểm M trên x y vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O). hai đường cao AD VÀ BE của tam giác M AB cắt nhau tại H. 1 Khẳng định ba điểm M,H,O thẳng hàng là đúng hay sai?
2 Xác định dạng của tứ giác AOBH. 3 Tìm quỹ tích của điểm H khi M chạy trên x y. D HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ Bài 1. Lời giải. Ta có ngay: • Tiếp tuyến qua B là đường thẳng b qua B và vuông góc với OB. • Tiếp tuyến qua C là đường thẳng c qua C và vuông góc với OC. Xét 4BCD, ta có: BD = DC, tính chất hai tiếp tuyến với đường tròn cùng đi qua D. CBD = OBD −OBC = 90◦ −30◦ = 60◦. Do đó 4BCD đều (tam giác cân có một góc bằng 60◦ ). B C O D A a Bài 2. Lời giải. 1 Trong 4IBC, ta có: BIC = 180◦ − ³ IBC + ICB ´ = 180◦ − 1 2 ¡ Bb+Cb = 180◦ − 1 2.90◦ = 135◦. A B D O C E 2 Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp 4ABC. Xét tứ giác AD IE, ta có: Ab = Db = 90◦ và ID = IE = r ⇒ AD IE là hình vuông. Do đó S4AD IE = ID2 = r 2. Trong 4ABC, ta có: S4ABC = 1 2 AB.AC = 1 2 p.r = 1 2 (AB + AC +BC).r ⇔ r = AB.AC AB + AC + p AB2 + AC2 = 6.8 6+8+ p 6 2 +8 2 = 2 cm. Vậy ta được: SAD IE = 2 2 = 4 cm2. Bài 3. Lời giải. Đúng. Bài 4. Lời giải. Ta thực hiện theo các phần sau: Phần thuận: Giả sử tồn tại điểm A thỏa mãn điều kiện đầu bài. Trong 4OAB, ta có: BAO = 1 2 BAC = 45◦ ⇒ BA = OB = R. OA = p OB2 +BA2 = R p 2. ⇒ A thuộc đường tròn (O;R p 2). 45 ◦ A C O B Phần đảo: Lấy điểm A bất kỳ trên đường tròn (O;2R). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O;R). Ta phải chứng minh 4BAC = 60◦. Trong 4OAB, ta có: sinBAO = OB OA = R R p 2 = p 2 2 = sin45◦ ⇒ BAO = 45◦ ⇒ BAC = 2BAO = 90◦. Kết luận: Qũy tích của điểm A là đường tròn (O; p 2). Bài 5. Lời giải. Đáp số trắc nghiệm C. Đường tròn (O) tiếp xúc với d tại A ⇒ OA⊥d. Vậy quỹ tích tâm các đường tròn tiếp xúc với d tại A là đường thẳng đi qua A và vuông góc với d. A O Bài 6. Lời giải. Đáp số trắc nghiệm C. Đường tròn (O) tiếp xúc với d nếu d(O,a) = R. Vậy quỹ tích tâm các đường tròn có bán kính R tiếp xúc với d là hai đường thẳng a,b song song và khoảng cách từ chúng đến d bằng R. a b d R R O Bài 7. Lời giải. Đáp số trắc nghiệm D. Đường tròn (O) tiếp xúc với a và b thì d(O,a) = d(O,b). Vậy quỹ tích tâm các đường tròn tiếp xúc với a và b là hai đường phân giác d1 và d2 của góc tạo bởi a và b. a b d2 d1 O Bài 8. Lời giải. 1 Đáp số trắc nghiệm D. • Vì M A, MB là tiếp tuyến nên M, O, I thẳng hàng. • Vì 4M AB cân tại M nên M I là đường cao. Do đó M, H, I thẳng hàng. Vậy ba điểm M, H, O thẳng hàng. x A E y I O M B H D 2 Đáp số trắc nghiệm B. Xét tứ giác AOBH, ta có: AO ∥ BH, vì cùng vuông góc với M A. AO ∥ OB, vì cùng vuông góc với MB. Do đó AOBH là hình bình hành. Mặt khác, ta có ngay OA = OB = R. Vậy AOBH là hình thoi (vì nó là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau). 3 Đáp số trắc nghiệm A. Theo kết quả câu a), ta có: AH = OA = R ⇒ H ∈ (A,R). Hạn chế quỹ tích: Học sinh tự làm.