Đồ thị của hàm số bậc nhất

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Đồ thị của hàm số bậc nhất, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.

Nội dung bài viết Đồ thị của hàm số bậc nhất:
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Y = AX VỚI A 6= 0 Đồ thị của hàm số y = ax(a 6= 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm A(1;a). Như vậy, để vẽ đồ thị hàm số y = ax(a 6= 0), ta thực hiện: Xác định vị trí điểm A(1;a). Nối O với A ta được đồ thị hàm số y = ax. Ta có minh họa: O x a y A 1 y = ax Đường thẳng y = ax (a > 0) nằm trong góc phần tư (I) và phần tư (III) O x a y A 1 y = ax Đường thẳng y = ax (a < 0) nằm trong góc phần tư (II) và phần tư (IV) 4! Ta có một số chú ý sau: Đồ thị hàm số y = x chính là đường phân giác của góc phần tư thứ I, III. Đồ thị hàm số y = −x chính là đường phân giác của góc phần tư thứ II, IV. 2 ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Y = AX +B, A 6= 0 Đồ thị của hàm số y = ax + b, a 6= 0 là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. Đường thẳng này: Song song với đường thẳng y = ax nếu b 6= 0. Trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0. Từ kết quả trên ta thấy: Nếu đã có đồ thị hàm số y = ax thì đồ thị hàm số y = ax + b, b 6= 0 được suy ra bằng cách: Xác định vị trí điểm M(0;b). Đường thẳng đi qua M song song với đường thẳng y = ax chính là đồ thị hàm số y = ax+ b. 3 CÁCH VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT Vì đồ thị hàm số bậc nhất là một đường thẳng nên muốn vẽ ta chỉ cần xác định hai điểm phân biệt bất kỳ trên đường thẳng đó. 4! Khi vẽ đồ thị hàm số y = ax+ b a 6= 0: Ta nên chọn hai điểm có tọa độ chẵn. Thông thường ta chọn hai điểm A (0;b) và B theo thứ tự là giao điểm của đồ thị với trục O y và Ox nếu hai điểm đó không nằm quá xa gốc tọa độ (thí dụ y = x+2005) hoặc tọa độ của chúng không quá phức tạp trong tính toán (thí dụ y = p3 2x+ p 89). B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ví dụ 1. Cho hàm số: y = −x+3. 1 Xác định giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành. Vẽ đồ thị hàm số. 2 Gọi A và B theo thứ tự là hai giao điểm nói trên. Tính diện tích 4OAB (O là gốc tọa độ). 3 Gọi α là góc nhọn tạo bởi đồ thị hàm số với trục Ox. Tính tanα, suy ra số đo góc α. 4 Bằng đồ thị, tìm x để y > 0, y ≤ 0. Lời giải. 1 Đồ thị cắt trục O y tại A có: x = 0 ⇒ y = −0+3 = 3 ⇒ A(0;3) Đồ thị cắt trục Ox tại B có: y = 0 ⇒ 0 = −x+3 ⇔ x = 3 ⇒ B(3;0). 2 Ta có: S∆OAB Từ đồ thị suy ra: y > 0 ⇔ x < 3, ứng với phần đồ thị nằm phía trên trục Ox. y ≤ 0 ⇔ x ≥ 3, ứng với phần đồ thị phía dưới trục Ox. Ví dụ 2. Cho hàm số: y = ax−3a 1 Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số đi qua điểm A(0;4). Vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm được. 2 Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng tìm được trong a). Lời giải. 1 Đồ thị hàm số đi qua điểm A(0;4) khi và chỉ khi Vậy hàm số có dạng y = − 43x+4. Để vẽ đồ thị hàm số ta lấy thêm điểm B(3;0). 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng. Trong tam giác 4OAB vuông tại O, ta có: OH2. Ví dụ 3. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Ox y đồ thị của các hàm số y = 3x và y = −3x. Có nhận xét gì về đồ thị của hai hàm số này? Lời giải. Để vẽ đồ thị hàm số y = 3x, ta thực hiện: Xác định thêm một điểm A(1;3). Nối O với A ta được đồ thị hàm số y = 3x. Để vẽ đồ thị hàm số y = −3x, ta thực hiện: Xác định thêm một điểm B(−1;3). Nối O với B ta được đồ thị hàm số y = 3x. Nhận xét rằng, đồ thị của hai hàm số này đối xứng với nhau qua O y. 4! Ta có một số nhận xét sau: 1 Ta biết rằng: |3x| = 3x khi x ≥ 0 −3x khi x < 0 Do đó, nếu lấy hai phần đồ thị là: Phần đồ thị của hàm số y = 3x trong góc phần tư thứ I. Phần đồ thị của hàm số y = −3x trong góc phần tư thứ II ta nhận được đồ thị của hàm số y = |3x|. 2 Từ đó, để vẽ đồ thị hàm số y = |ax| ta thực hiện như sau: Vẽ tia OA, với A xA > 0. Vẽ tia OB, với B(−xA xA). Hoặc chỉ cần vẽ tia OA sau đó lấy đối xứng OA qua O y. Ví dụ 4. Cho hai hàm số: y = 2x và y = −12. 1 Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Ox y đồ thị của các hàm số. Có nhận xét gì về đồ thị của hai hàm số này? 2 Xác định tọa độ điểm B thuộc đồ thị hàm số y = −12x sao cho xB = 4yB +2. Lời giải. 1 Để vẽ đồ thị hàm số y = 2x ta thực hiện: Xác định thêm một điểm A(1;2). Nối O với A ta được đồ thị hàm số y = 2x. Nhận xét rằng đồ thị của hai hàm số này vuông góc với nhau. 2 B thuộc đồ thị hàm số y = −12x, suy ra yB = − 12xB (*). Thay xB = 4yB +2 vào (*).
Ví dụ 5. Cho các hàm số: y = f (x) = 2x, y = g(x) = 2x−1, y = h(x) = 2x+2. 1 Với x = −2;0;1;2;3 hãy tính các giá trị tương ứng của f (x), g(x),h(x). 2 Có nhận xét gì về giá trị của các hàm số f (x), g(x),h(x) ứng với cùng một giá trị của biến số x, từ đó đưa ra kết luận về đồ thị các hàm số y = g(x) và y = h(x). Lời giải. 1 Ta lập bảng: x −2 0 1 2 3 f (x) −4 0 2 4 6 g(x) −5 −1 1 3 5 h(x) −2 2 4 6 8 b) Từ bảng, ta nhận thấy với bất kỳ hoành độ nào thì Tung độ tương ứng của điểm trên đồ thị hàm số y = 2x−1 cũng nhỏ hơn tung độ tương ứng của điểm trên đường thẳng y = 2x là 1 đơn vị. Tung độ tương ứng của điểm trên đồ thị hàm số y = 2x+2 cũng lớn hơn tung độ tương ứng của điểm trên đường thẳng y = 2x là 2 đơn vị. Vậy ta thấy: Đồ thị hàm số y = 2x − 1 là một đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −1. Đồ thị hàm số y = 2x + 2 là một đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x và cắt trục tung tại điểm có tung độ bẳng 2.