Vị trí tương đối của hai đường tròn

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Vị trí tương đối của hai đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.

Nội dung bài viết Vị trí tương đối của hai đường tròn:
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Hai đường tròn phân biệt không thể có quá hai điểm chung, bởi vì qua ba điểm thẳng hàng không thể có một đường tròn, còn qua ba điểm không thẳng hàng chỉ có một đường tròn duy nhất. Như vậy, hai đường tròn phân biệt chỉ có thể: Có hai điểm chung. Có một điểm chung duy nhất. Không có điểm chung. 4! Hai đường tròn nếu có nhiều hơn hai điểm chung thì chúng trùng nhau. 1 HAI ĐƯỜNG TRÒN CÓ HAI ĐIỂM CHUNG Cho hai đường tròn (O;R) và (O 0 ; r) với R > r và d = OO0. Trường hợp này gọi là hai đường tròn cắt nhau, mỗi điểm chung gọi là một giao điểm. O 0 O A r R d Sử dụng bất đẳng thức tam giác trong 4AOO0 ta có OA −O 0A < OO0 < OA +O 0A, từ đó suy ra điều kiện R − r < d < R + r. 4! Nhận xét. Hai đường tròn cắt nhau O 0 O A Có hai tiếp tuyến chung và chúng đồng quy với đường thẳng OO0. Nếu bài toán cần vẽ đường phụ, ta thường vẽ thêm dây chung của chúng. Bài toán: Cho hai đường tròn (O;R) và (O 0 ; r) với r < R cắt nhau tại A và B. Hãy dựng tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó, biết OO0 = d. Lời giải O 0 O A M M0 N N0 Phân tích. Giả sử đã dựng được tiếp tuyến chung của hai đường tròn và M, M0 theo thứ tự là tiếp điểm của tiếp tuyến chung với (O;R) và (O 0, r). Gọi A là điểm đồng quy của hai tiếp tuyến với OO0, ta có AO0 AO = O 0M0 OM = r R ⇒ AO0 = (AO0 +O 0O)· r R ⇔ AO0 = rd R − r. ⇒ Xác định được vị trí điểm A. Khi đó Tiếp điểm M0 là giao điểm của (O 0) và đường tròn đường kính AO0. Tiếp điểm M là giao điểm của đường thẳng AM0 và đường tròn (O). Cách dựng: Ta thực hiện Xác định điểm A trên tia OO0 sao cho AO0 = rd R − r. Dựng đường tròn đường kính AO0, đường tròn này cắt (O 0) tại M0. Dựng đường thẳng AM0, đó chính là tiếp tuyến chung cần dựng. Chứng minh. Ta có ngay AMà0O = 90◦ ⇒ AM0 là tiếp tuyến của đường tròn (O). Ngoài ra, ta cũng có AO0 AO = AO0 AO0 +O0O = rd R − r rd R − r + d = r R = O 0M0 OM. Suy ra OM ∥ O 0M0 ⇒ OM ∥ AM ⇒ AM0 là tiếp tuyến của đường tròn (O 0). Biện luận. Bài toán có hai nghiệm hình (tức là tồn tại duy nhất hai tiếp tuyến chung của (O) và (O 0)). 2 HAI ĐƯỜNG TRÒN CHỈ CÓ MỘT ĐIỂM CHUNG Cho hai đường tròn (O;R) và (O 0 ; r) với R > r và d = OO0. Trường hợp này gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau và điểm chung duy nhất được gọi là tiếp điểm. Ta có hai khả năng tiếp xúc: Tiếp xúc ngoài: d = R + r. O 0 O A d r R Tiếp xúc trong: d = R − r. O 0 O A d 4! Nhận xét: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau có ba tiếp tuyến chung. O 0 O A M d O 0 O A d Hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau có một tiếp tuyến chung. Hai đường tiếp xúc với nhau mà cần vẽ đường phụ, ta thường vẽ thêm tiếp tuyến chung của chúng. 3 HAI ĐƯỜNG TRÒN KHÔNG CÓ ĐIỂM CHUNG Cho hai đường tròn (O;R) và (O 0 ; r) với R > r và d = OO0. Trường hợp này gọi là hai đường tròn không giao nhau. Ta có hai khả năng Ngoài nhau: d > R + r. O 0 O r d R Trong nhau: d < R − r. O 0 O d 4! Chú ý. Hai đường tròn phân biệt cùng tâm (d = 0) gọi là hai đường tròn đồng tâm. Hai đường tròn ngoài nhau có bốn tiếp tuyến chung, trong đó + Có hai tiếp tuyến chung cắt đoạn OO0. + Có hai tiếp tuyến chung không cắt đoạn OO0. O 0 O A Hai đường tròn ở trong nhau không có tiếp tuyến chung. 4 MỘT SỐ TÍNH CHẤT Tính chất 1. Đường nối tâm là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn. Tính chất 2. Nếu hai đường tròn cắt nhau thì dây cung vuông góc với đường nối tâm và bị đường này chia làm hai phần bằng nhau. Cụ thể, theo hình vẽ ta có: OO0 ⊥ AB và I A = IB. O 0 O B A I Tính chất 3. Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm. Cụ thể, theo hình vẽ sau ta có O, O 0, A thẳng hàng. O 0 O A d O 0 O A d B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ví dụ 1. Hai đường tròn (O) và (O 0) cắt nhau tại A và B. Từ A vẽ đường kính AOC và AO0D. Chứng minh rằng ba điểm B, C, D thẳng hàng và AB vuông góc CD. Lời giải. O 0 O D B C A I Gọi I là giao điểm của AB và OO0, suy ra I là trung điểm của AB. Trong tam giác ABC, ta có OI là đường trung bình nên OI ∥ BC. Trong tam giác ABD, ta có O 0 Ilà đường trung bình nên O 0 I ∥ BD. Suy ra OO0 ∥ BC ∥ BD, nên ba điểm B, C, D thẳng hàng. Vì AB ⊥ OO0 ⇒ AB ⊥ CD. Nhận xét: Trong lời giải của ví dụ trên chúng ta đã tận dụng đầy đủ tính chất của hai đường tròn cắt nhau. Ví dụ tiếp theo sẽ minh họa việc sử dụng tính chất của hai đường tròn tiếp xúc nhau. Ví dụ 2. Cho hai đường tròn (O;R) và (O 0 ; r) tiếp xuca ngoài với nhau tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B thuộc đường tròn (O), C thuộc đường tròn (O 0). 1 Chứng minh rằng 4ABC là tam giác vuông. 2 Tính số đo góc OMO à0. 3 Tính diện tích tứ giác BCO0O theo R và r. 4 Gọi I là trung điểm OO0. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (I, IM). Lời giải. O 0 A I O C M B H 1 Qua A vẽ tiếp tuyến chung trong, cắt BC tại M, ta có (M A = MB tính chất tiếp tuyến của (O;R) M A = MC tính chất tiếp tuyến của (O 0, r). Suy ra M A = MB = MC = 1 2 BC. Tức là 4ABC có trung tuyến AM ứng với cạnh BC bằng nửa cạnh đó nên là tam giác vuông. 2 Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có MO là phân giác của góc AMB. MO0 là tia phân giác của góc AMC. Suy ra OMO à0 = 90◦ (vì nó hợp bởi hai tia phân giác của hau góc kề bù). 3 Tứ giác BCO0O có OB ∥ O 0C (vì cùng vuông góc với BC) nên tứ giác này là hình thang, do đó SBCO0O = 1 2 (OB +O 0C)BC. Hạ O 0D vuông góc với OB, suy ra tứ giác BCO0H là hình chữ nhật nên BC = O 0H. Trong 4OO0H ta có O 0H 2 = OO02 −OH2 = (R + r) 2 −(R − r) 2 = 4Rr ⇒ O 0H = 2 p Rr. Vậy ta được SBCO0O = 1 2 (r + R)·2 p Rr = p Rr(R + r). 4 Ta có ngay IM là đường trung bình của hình thang BCO0O, do đó IM ∥ OB ⇒ IM ⊥ BC. Vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn (I, IM). 4! Nhận xét: Ta cũng có OO0 là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính BC. Chúng ta đã biết rằng “Nếu đường thẳng d đi qua một điểm ở bên trong đường tròn (O) thì nó cắt đường tròn này” và câu hỏi được đặt ra ở đây là nếu thay đường thẳng d bằng một đường tròn thì kết luận được gì về vị trí tương đối của hai đường tròn này. Ví dụ tiếp theo sẽ minh họa nhận định này. Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu một đường tròn đi qua một điểm bên trong và một điểm bên ngoài một đường tròn khác thì hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm. Lời giải. O 0 O B A d Giả sử đường (O) đi qua A và B, trong đó A ở ngoài (O 0), B ở bên trong (O 0). Gọi R, r theo thứ tự là bán kính các đường tròn (O), (O 0). Ta có OA = OB = R, O 0A > r và O 0B < r. Xét 4OO0B ta có OO0 ≤ OB +O 0B < R + r. (1) Nếu R ≥ r thì trong 4OO0B, ta có OO0 ≥ OB −O 0B < R + r. (2) Nếu R ≤ r thì trong 4OO0A, ta có OO0 ≥ O 0A −OA > r − R. (3) Từ đó, ta được |R − r| < OO0 < R + r ⇔ Hai đườn tròn (O) và (O 0) cắt nhau. 4! Nhận xét. Như vậy trong lời giải trên chúng ta đã sử dụng các kiến thức Vị trí tương đối của một điểm với đường tròn. Hệ thức liên hệ giữa các cạnh của tam giác. Để từ đó nhận được bất đẳng thức |R − r| < OO0 < R + r. Ví dụ 4. Cho đoạn thẳng AB và một điểm M không trung với A và B. Vẽ các đường tròn (A; AM) và (B;BM). Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn này, từ đó suy ra số tiếp tuyến chung của chúng. Lời giải. Để xét vị trí tương đối của hai đường tròn (A; AM) và đường tròn (B;BM), ta phải xét các trường hợp vị trí của điểm M đối với đoạn thẳng AB. Trường hợp 1 Điểm M nằm giữa A và B, ta có AB = AM + MB ⇔ d = R + r. Vậy hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau và do đó chúng có ba tiếp tuyến chung. A B M N d Trường hợp 2: Điểm M nằm trên tia đối của AB (hoặc tia đối của BA), ta có · AB = BM − AM ⇔ d = R − r AB = AM −BM ⇔ d = r − R. A B M A B M Vậy hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau và do đó chúng có một tiếp tuyến chung. Trường hợp 3: Điểm M nằm ngoài đường thẳng AB, ta có |MB − M A| < AB < MB + M A ⇔ |R − r| < d < R + r. Vậy hai đường tròn cắt nhau và do đó chúng có hai tiếp tuyến chung. A B C M Nhận xét: Để tránh bỏ sót trường hợp, các em học sinh hãy nhớ lại vị trí tương đối của điểm và đường thẳng, cụ thể với điểm M và đường thẳng AB (M không trùng với A, B) cho trước, ta có Nếu M thuộc đường thẳng AB, khi đó + M nằm giữa A và B. + A nằm giữa M và B. + B nằm giữa A và M. M không thuộc đường thẳng AB.