Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.

Nội dung bài viết Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Để xây dựng được thuật toán giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, chúng ta bắt đầu với việc giải hệ phương trình sau: (2x + y = 7 (1) x + 3y = 11 (2) Xét phương trình (1) của hệ, ta biến đổi y = 7 − 2x (3) Thay (3) vào phương trình (2), ta được x + 3 (7 − 2x) = 11 ⇔ 5x = 10 ⇔ x = 2. Thay x = 2 vào (3), ta được y = 7 − 2 · 2 ⇔ y = 3. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2; 3). Bước 1: Chọn phương trình (1) và biểu diễn ẩn y theo x. Bước 2: Thay biểu thức của y vào phương trình (2), rồi tìm giá trị của x. Bước 3: Thay giá trị của x vào biểu thức trong bước 1 để tìm y. Bước 4: Kết luận nghiệm. Từ đó, để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn phương trình (1) và biểu diễn ẩn y theo x. Bước 2: Thay biểu thức của x vào phương trình kia rồi tìm giá trị của y. Bước 3: Thay giá trị của y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm giá trị của x. Bước 4: Kết luận nghiệm. B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN DẠNG 1. Giải hệ phương trình Phương pháp giải: VÍ DỤ 1. Giải hệ phương trình (5x + 3y = 1 (1) 2x + y = −1 (2) LỜI GIẢI. Ta lựa chọn một trong hai cách rút: Cách 1: Thực hiện phép rút y. Xét phương trình (2) của hệ, ta biến đổi y = −2x − 1 (3). Thay (3) vào phương trình (1), ta được: y = −2 · (−4) − 1 = 7. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (−4; 7).
VÍ DỤ 4. (Bài 17/tr 16 -SGK) Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế 1 (√ 2x − √ 3y = 1 x + √ 3y = √ 2 2 (x − 2 √ 2y = √ 5 √ 2x + y = 1 − √ 10 3 √ 2 − 1 x − y = √ 2 x + √ 2 + 1 y = 1 LỜI GIẢI. 1 Giải hệ phương trình (√ 2x − √ 3y = 1 (1) x + √ 3y = √ 2 (2). Từ phương trình (2) suy ra x = √ 2 − √ 3y. Thay vào phương trình (1) ta có √ 2 √ 2 − √ 3y − √ 3y = 1 ⇔ y √ 6 + √ 3 = 1 ⇔ y = √ 6 − √ 3 3 Khi y = √ 6 − √ 3 3 thay vào (2) ta có x + √ 3 · Ç√ 6 − √ 3 3 = √ 2 ⇔ x + √ 2 − 1 = √ 2 ⇔ x = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là Ç 1; √ 6 − √ 2 3. 2 Giải hệ phương trình (x − 2 √ 2y = √ 5 (1) √ 2x + y = 1 − √ 10 (2) Từ phương trình (1) suy ra x = √ 5 − 2 √ 2y. Thay vào phương trình (2) ta có √ 2 √ 5 + 2√ 2y + y = 1 − √ 10 ⇔ 5y = 1 − 2 √ 10 ⇔ y = 1 − 2 √ 10 5 Khi y = 1 − 2 √ 10 5 thay vào (1) ta có x = √ 5 + 2√ 2 · Ç 1 − 2 √ 10 5 ⇔ x = 2 √ 2 − 3 √ 5 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là Ç 2 √ 2 − 3 √ 5 5 ; 1 − 2 √ 10 5. 3 √ 2 − 1 x − y = √ 2 (1) x + √ 2 + 1 y = 1 (2) Từ phương trình (1) ta suy ra y = √ 2 − 1 x − √ 2. Thay vào phương trình (2) ta có x + √ 2 + 1 · √ 2 − 1 x − √ 2 ó = 1 ⇔ 2x − 2 − √ 2 = 1 ⇔ x = 3 + √ 2 2. Khi x = 3 + √ 2 2 thay vào (2) ta có 3 + √ 2 2 + √ 2 + 1 y = 1 ⇔ √ 2 + 1 y = − 1 + √ 2 2 ⇔ y = − 1 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất Ç 3 + √ 2 2 ; − 1 2.
VÍ DỤ 5. (Bài 18/tr 16 -SGK) Cho hệ phương trình (x + by = −4 bx − ay = −5 1 Xác định các hệ số a và b, biết hệ phương trình trên có nghiệm là (1; −2). 2 Xác định các hệ số a và b, biết hệ phương trình trên có nghiệm là √ 2 − 1; √ 2. LỜI GIẢI. 1 Do (1; −2) là nghiệm của hệ phương trình nên (2 − 2b = −4 b + 2a = −5 ⇔ (b = 3 b + 2a = −5 ⇔ (b = 3 a = −4 Vậy với a = −4 và b = 3 thỏa mãn bài toán. 2 Do √ 2 − 1; √ 2 là nghiệm của hệ phương trình nên 2 √ 2 − 1 + √ 2b = −4 √ 2 − 1 b − √ 2a = −5 ⇔ (√ 2b = −2 − 2 √ 2 √ 2 − 1 b − √ 2a = −5 ⇔ b = −2 − √ 2 a = 5 √ 2 − 2 2 Vậy với a = 5 √ 2 − 2 2 và b = −2 − √ 2. VÍ DỤ 6. Cho hệ phương trình (mx + 3y = −2 m2x − 6y = 4 1 Giải hệ phương trình với m = 2. 2 Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm. LỜI GIẢI. 1 Khi m = 2 hệ phương trình trở thành (2x + 3y = −2 4x − 6y = 4 ⇔ (2x + 3y = −2 2x − 3y = 2 ⇔ (2x + 3y = −2 4x = 0 ⇔ y = − 2 3 x = 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là 0; − 2 3 ã. 2 Xét hệ phương trình (mx + 3y = −2 (1) m2x − 6y = 4 (2). Từ phương trình (1) suy ra 3y = −2 − mx ⇔ y = − 1 3 (2 + mx). Thay vào phương trình (2) ta có m2x + 6 · 1 3 (2 + mx) = 4 ⇔ m2 + 2m x = 0 (3) Để hệ phương trình vô số nghiệm khi (3) vô số nghiệm. Khi đó m2 + 2m = 0 ⇔ m (m + 2) = 0 ⇔ ” m = 0 m = −2 Vậy với m = 0 và m = 2 hệ có vô số nghiệm.
Nhận xét. 1. Như vậy, trong lời giải trên để tận dụng phép thế trong một bài toán có hai câu hỏi chúng ta đã thực hiện theo 3 bước: Bước 1: Bằng phép thế, chuyển đổi tính chất của hệ thành tính chất của phương trình. Bước 2: Thực hiện câu a) Bước 3: Thực hiện câu b). Đó chính là cách thể hiện rất phổ biến khi học lên cao. 2. Chúng ta đều đã được biét rằng, có thể thực hiện yêu cầu ” Tìm m để hệ phương trình có vô số nghiệm” bằng cách dựa trên vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, cụ thể: Trường hợp 1: Với m = 0, hệ phương trình có dạng (0x + 3y = −2 0x − 6y = 4 ⇔ x tùy ý y = − 2 3 Trường hợp 2: Với m 6= 0 thì điều kiện để phương trình có vô số nghiệm là m m2 = − 3 6 = − 2 4 ⇔ 1 m = − 1 2 ⇔ m = −2 Vậy với m = 0 và m = 2 hệ có vô số nghiệm. Lưu ý: Nếu ta không xét trường hợp m = 0 mà chỉ kiểm tra điều kiện để phương trình có vô số nghiệm m m2 = − 3 6 = − 2 4 thì không được rút gọn mẫu số. Khi đó, ta phải biến đổi như sau m m2 = − 3 6 = − 2 4 ⇔ m m2 = − 1 2 ⇔ 2m = −m2 ⇔ m (2 − m) = 0 ⇔ ” m = 0 m = 2