VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Lập phương trình mặt cầu, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Lập phương trình mặt cầu:
Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu Phương pháp giải: Phương trình chính tắc của mặt cầu 2 22 2 S xa yb zc R. Phương trình tổng quát của mặt cầu 2 22 S x y z ax by cz d 222 với tâm I abc bán kính 222 R abcd. Chú ý: – Nếu A, B thuộc mặt cầu (S IA IB R). – Nếu IA IB thì ta có: 2 2 OB OA AB OI OB OA AB OI. Chứng minh: Ta có: 2 2 IA IB IA IB IA IB IO OA IO OB. – Với bài toán: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D ta sẽ làm như sau: Gọi I xyz là tâm mặt cầu thì: IA IB IC ID khi đó I xyz là nghiệm của hệ phương trình: OB OA AB OI IA IB OC OA IA IC AC OI CASIO suy ra tọa độ điểm I. Trong đó O(0;0;0) là gốc tọa độ, giải hệ phương trình suy ra tọa độ điểm I.
Ví dụ 1: Lập phương trình của mặt cầu (S) biết: a) Tâm I thuộc Oy, đi qua A B (1;1;3). b) Tâm I thuộc Oz, đi qua A B (2;1;1); (4;-1;-1). Lời giải: a) Gọi I y (0;0;0) ta có: 2 2 2 2 IA IB y 1 1 9 1 3 9 2 y y R IA 14. Suy ra 2 2 2 Sx y z 2 14. b) Gọi I z (0;0;0) ta có: 2 2 2 2 IA IB z. Phương trình mặt cầu: 2 2 2 Sx y z 3 21. Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu (S) biết: a) Tâm I thuộc 1 2 x t d yt z t và đi qua A B (3;0;-1); (1;4;-1). b) Tâm I thuộc 2 1 : 1 12 x yz d và đi qua A B (3;6;-1); (5;4;-3).
Lời giải: a) Gọi I tt t (1;t;2) là tâm mặt cầu ta có: 2 2 IA IB t t 2 21 4 21 2 11 t tI R. Phương trình mặt cầu là: 22 x yz 2 1 2 11. b) Gọi I t tt (2;1;2) là tâm mặt cầu ta có: 2 IA IB t t 1 5 21 3 3 23. Phương trình mặt cầu là: 2 2 2 x yz 2 1 27. Ví dụ 3: Lập phương trình mặt cầu (S) biết (S) a) Đi qua 4 điểm A B C D (2;4;-1). b) Đi qua 4 điểm ABCD. Lời giải: Áp dụng: IA IB IC ID thì I xyz là nghiệm của hệ phương trình. a) Gọi I xyz là tâm mặt cầu ta có: 2 2 45 2 OB OA AB OI x IA IB OC OA IA IC AC OI z IA ID y OD OA AD OI. Phương trình mặt cầu: 2 45 2 2 2421 3 1 2 4 x yz.
b) Gọi I xyz là tâm mặt cầu ta có: xyz y xyz z. Phương trình mặt cầu: 2 22 3 3 3 171 2 2 24 xyz. Ví dụ 4: Lập phương trình mặt cầu (S) biết a) (S) đi qua ABC (2;0;1); (1;0;0); (1;1;1) và I Pxyz 20. b) (S) đi qua ABC (2;4;1); (3;1;-3); (5;0;0) và I P xyz 2 3 0. Lời giải: Gọi I xyz là tâm mặt cầu a) Ta có: 2 1 2 0 OB OA AB OI xyz x OC OA AC OI x y z y xyz z xyz. Khi đó 2 2 2 Sx y z 1 11. b) Ta có: 2 3 3 2 30 OB OA AB OI xyz x OC OA AC OI x y z y xyz z xyz. Khi đó 2 22 Sx y z 1 2 3 49.
Ví dụ 5: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm MN P và có tâm thuộc mặt phẳng? Lời giải: Giả sử mặt cầu có tâm I xyz. Ta có: 2 2 3 2 3 20 ON OM MN OI xyz x OP OM MP OI x y z y xyz z x yz. Phương trình mặt cầu là: 222 x yz 2 1 3 16 hay 2 22 xyz xyz 4 2 6 20. Chọn B.