Bài toán về mặt cầu với hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán về mặt cầu với hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Bài toán về mặt cầu với hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy:
Dạng 4: Bài toán về mặt cầu với hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy Xét khối chóp S ABC có (SAB ABC). Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC. Dựng tâm. Gọi 1 2 O O lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và SAB, E là trung điểm của AB, ta có O E AB O E SAB do SAB ABC 1 1 ⇒ O E AB O E ABC 2 1 ⇒ Qua O1 dựng đường thẳng 1 d vuông góc với (ABC) thì 1 d là trục của tam giác ABC và 1 2 d OE.
Qua O2 dựng đường thẳng 2 d vuông góc với (SAB) thì 2 d là trục của tam giác SAB và 2 1 d OE. Tâm I của mặt cầu là giao điểm của 1 d và 2 d. Tính bán kính R của mặt cầu. Tứ giác EO IO1 2 là hình chữ nhật, suy ra 222 1 2 IE O E O E. Gọi 1 2 R R lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, SAB. Ta có AB AB O E O A EA R O E O A EA R. Suy ra AB AB IE R R R IE EA R R.
Tổng quát: Cho khối chóp 1 2 …. n SAA A có (SA A A A A 12 12) (…. n). Đặt R1 là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 1 2 SAA R2 là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy 1 2 … AA An và A A GT 1 2 (gọi là giao tuyến) thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp R của khối chóp 1 2 … n SAA A được tính theo công thức: 2 2 2 1 2 4 GT R RR.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có SA a tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng? Lời giải: Gọi H là trung điểm AB SH AB SH ABC ⇒ Tam giác SAB vuông cân tại 2 2 2 b AB a S R. Tam giác ABC đều cạnh 3 6 2 2 3 3 d a a Ra. Vậy 2 3 b d a R a R GT AB a nên 6 3 a R. Chọn B.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 0 a ASB 30 tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng? Lời giải: Tam giác SAB có 0 30 2sin b AB ASB AB a R a ASB ABCD là hình vuông cạnh 2 2 22 2 d BD AB a a R. Vậy a a R Aa GT B nên 5 2 a R. Diện tích mặt cầu cần tính là 2 2 SR a 4 5 π π. Chọn A.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C, tam giác SAB đều cạnh a. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB. Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 0 45. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là? Lời giải: Gọi H là trung điểm AB SH ABCD ⇒ SC ABCD SC HC SCH. Tam giác SHM vuông cân tại H có 3 tan 2 SH a HM SCH 3 2 ⇒ CH AB Tam giác ABC đều cạnh a.
Vậy 3 2 b d a R R GT AB a nên 5 2 a R. Chọn C. Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 0 30. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng. Lời giải: Gọi H là trung điểm AD SH AD SH ABCD ⇒ Gọi M là trung điểm BC HM BC BC SHM SHM ABCD SM HM SMH 30.
Vậy 13 2 2 2 3 b d BD a R nên 21 2 a R. Chọn D. Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có AB BC BD AC a AD a 2 hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau. Diện tích mặt cầu đi qua bốn điểm ABCD bằng? Lời giải Gọi H là trung điểm CD BH CD BH ACD ⇒ Mà BA BC BD H ⇒ là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ACD ⇒ ∆ACD vuông tại 2 2 A CD AC AD a. Tam giác BHC vuông tại 3 0 cos 120 2 HC HC B.
Vậy 3 2sin 3 2 2 b d CD a R CD R a. Chọn C. Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 0 45. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD là? Lời giải: Gọi H M lần lượt là trung điểm của AB CD SH AB mà (SAB ABCD SH ABCD SH CD). Do HM CD suy ra CD SHM. Chọn C.
Ví dụ 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy là tam giác đều. Tam giác SAB đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng SC a 2 3 diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD là? Lời giải: Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó SH AB. Mặt khác (SAB ABC). Do vậy SH ABC. Đặt AB x. Ta có: 3 2 x SH HC. Suy ra 6 23 22 2 x SC a x a. Ta có: 1 2 2 2 3 3 x a R R. Suy ra 2 2 2 2 1 2 30 40 4 4 3 3 AB a R RR S R π π. Chọn A.