VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Đường tròn ngoại tiếp – đường tròn nội tiếp, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Đường tròn ngoại tiếp – đường tròn nội tiếp:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp đa giác đều Định nghĩa 1. Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác đó và khi đó đa giác được gọi là nội tiếp đường tròn. Định nghĩa 2. Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác đó và khi đó đa giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn. Định lí 1. Bất kì đa giác đều nào cũng có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp. Ta có: Tâm chung của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp một đa giác đều gọi là tâm của đa giác đều đó. Khoảng cách từ tâm của đa giác đều đến cạnh của nó gọi là trung đoạn (cũng là bán kính của đường tròn nội tiếp). 2. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp đa giác đều Gọi R, r, n và a lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp, số cạnh và độ dài mỗi cạnh. Xét 4OHA, ta có AOB = 180◦ n ⇒ AOH = 180◦ 2n. R = OA = AH sin AOH = a 2 sin 180◦ n ⇒ sin 180◦ n = a 2R. r = OH = AH tan AOH = a 2 tan 180◦ n ⇒ tan 180◦ n = a 2r. A B O H r R.
Định lí 2. Với mọi đa giác đều có cùng số cạnh, tỉ số giữa chu vi đa giác với đường kính của đường tròn ngoại tiếp không phụ thuộc độ dài của đường kính. 3. Cách vẽ các đa giác đều thông dụng bằng thước và compa a) Để vẽ 4ABC đều, nội tiếp đường tròn (O), ta thực hiện Vẽ đường kính AA0. Vẽ đường tròn (A0, A0O), cắt (O) ở B và C. B C A0 A O b) Để vẽ hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O), ta vẽ hai đường kính vuông góc là AC và BD. B A C O D c) Để vẽ lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn (O), ta thực hiện Vẽ đường kính AD. Vẽ đường tròn (A; AO), cắt (O) ở B và F. Vẽ đường tròn (D; DO), cắt (O) ở C và E. B C F E A D O B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VÍ DỤ 1. (Bài 61/trang 91 – SGK) 1 Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2 cm. 2 Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) đó. 3 Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O; r). LỜI GIẢI. 1 Cách vẽ: Mở com-pa một khoảng bằng 2 cm. Quay một vòng để vẽ đường tròn (O; 2). 2 Cách vẽ: Từ điểm A bất kì trên đường tròn, vẽ đường kính AC. Vẽ đường kính BD vuông góc với đường kính AC. A, B, C, D là bốn đỉnh của hình vuông cần dựng.
B A C O D E 3 Đường tròn nội tiếp hình vuông có đường kính bằng cạnh của hình vuông ABCD. Ta có OE2 + EA2 = OA2 ⇔ 2r 2 = 22 ⇒ r = √2. Cách vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông: Kẻ OE ⊥ AB, vẽ đường tròn (O; OE). VÍ DỤ 2. (Bài 62/trang 91 – SGK) 1 Vẽ 4ABC đều cạnh a = 3 cm. 2 Vẽ đường tròn (O; R) ngoại tiếp 4ABC. Tính R. 3 Vẽ đường tròn (O; r) nội tiếp 4ABC. Tính r. 4 Vẽ tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O; R). LỜI GIẢI. 1 Cách vẽ: Vẽ BC = 3 cm. Vẽ các đường tròn (B; 3 cm) và (C; 3 cm) cắt nhau tại A. 4ABC là tam giác đều có cạnh bằng 3 cm. 2 Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC trùng với trọng tâm của tam giác đó. Ta có bán kính R của đường tròn ngoại tiếp 4ABC là R = 2 3 AH = 2 3 · AB√3 2 = 2 3 · 3 √3 2 = √3 cm. A I O J B C K c) Bán kính r của đường tròn nội tiếp 4ABC là r = 1 3 AH = 1 3 · AB√3 2 = 1 3 · 3 √3 2 = √3 2 cm. d) Vẽ các đường tròn (A; AB), (B; AB) và (C; AB). Các đường tròn này cắt nhau tại I, J, K thì 4IJK là tam giác ngoại tiếp đường tròn (O; R). VÍ DỤ 3. Một đường tròn có bán kính R. 1 Tính diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn đó theo R. 2 Tính diện tích hình vuông nội tiếp đường tròn đó theo R. 3 Tính diện tích lục giác đều nội tiếp đường tròn đó theo R. LỜI GIẢI. 1 Gọi a là độ dài cạnh tam giác đều, ta có R = a 2 sin 180◦ 3 ⇒ a = 2R sin 60◦ = R √3.
Khi đó diện tích tam giác được cho là S = a 2 √3 4 = (R √3)2 √3 4 = 3R2 √3 4. 2 Gọi a là độ dài cạnh hình vuông, ta có R = a 2 sin 180◦ 4 ⇒ a = 2R sin 45◦ = R √2. Khi đó diện tích hình vuông được cho là S = a 2 = (R √2)2 = 2R 2. 3 Diện tích lục giác đều gồm 6 tam giác đều cạnh bằng R là S = 6 · R2 √3 4 = 3R2 √3 2. Nhận xét. Như vậy, để tính diện tích của một đa giác đều bất kì chúng ta chỉ cần xác định được độ dài của cạnh đa giác đều đó và đối với các đa giác đều chúng ta đã có được công thức liên hệ giữa cạnh với bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp. VÍ DỤ 4. (Bài 63/trang 92 – SGK) Cho đường tròn (O; R), tính theo R: 1 Cạnh của tam giác đều nội tiếp. 2 Cạnh của hình vuông nội tiếp. 3 Cạnh của lục giác đều nội tiếp. LỜI GIẢI. 1 Ta có a = 2R · sin 180◦ 3 = 2R sin 60◦ = R √3. 2 Ta có a = 2R · sin 180◦ 4 = 2R sin 45◦ = R √2. 3 Ta có a = 2R · sin 180◦ 6 = 2R sin 30◦ = R. VÍ DỤ 5. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. 1 Gọi a là độ dài cạnh lục giác đều. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R và bán kính đường tròn nội tiếp r của lục giác. 2 Gọi M là một điểm bất kì trong 4AOB. Gọi H, I, K theo thứ tự là hình chiếu của M trên OA, OB, CF. Chứng minh rằng năm điểm M, H, I, O, K cùng thuộc một đường tròn. 3 Chứng minh rằng 4HIK là tam giác đều. LỜI GIẢI. 1 Ta có R = a 2 sin 180◦ 6 = a 2 sin 30◦ = a. r = a 2 tan 180◦ 6 = a 2 tan 30◦ = a √3 2. 2 Nhận xét rằng OHM = OIM = OKM = 90◦. ⇒ H, I, K thuộc đường tròn có đường kính OM. ⇒ H, I, K, O, M cùng thuộc một đường tròn. B C F E H A M D I K O c) Giả sử K thuộc đoạn thẳng OF.
Xét đường tròn đi qua năm điểm H, I, K, O, M, ta có HKI = HOI = 60◦ vì góc nội tiếp cùng chắn một cung. Tương tự, ta có KHI = KOI = 60◦ vì góc nội tiếp cùng chắn một cung. Trong 4HIK ta có HIK = KHI = 60◦ nên 4HIK là tam giác đều. Nhận xét. Trong lời giải ở câu a), ta tính được R, r dựa trên công thức đã biết, tuy nhiên cũng có thể sử dụng việc xét tam giác vuông để xác định R, r. Nhờ chứng minh được năm điểm M, H, I, O, K cùng thuộc một đường tròn, các góc HKI và HOI là hai góc nội tiếp của đường tròn đó, do đó áp dụng tính chất của góc nội tiếp, ta tính được HIK = 60◦ và IKH = 60◦. VÍ DỤ 6. (Bài 64/trang 92 – SGK) Trên một đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kẻ từ một điểm A, ba cung AB, BC, CD sao cho sđ AB˜ = 60◦, sđ BC˜ = 90◦ và sđ CD˜ = 120◦. 1 Tứ giác ABCD là hình gì? 2 Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau. 3 Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R. LỜI GIẢI. 1 Ta có BDC = 1 2 sđ BC˜ = 45◦. sđ AD˜ = 360◦ − (60◦ + 90◦ + 120◦) = 90◦. ⇒ ABD = 1 2 sđ AD˜ = 45◦ = BDC ⇒ AB k CD (vì có cặp góc so le trong bằng nhau). Do đó, ABCD là hình thang và hình thang nội tiếp đường tròn nên nó là hình thang cân. A B M O D H C b).
Gọi M là giao điểm của AC và BD, vì AMD là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên AMD = sđ AD˜ + sđ BC˜ 2 = 90◦ + 90◦ 2 = 90◦ ⇒ AC ⊥ BD. c) Ta lần lượt có các nhận xét: 4OAB đều nên AB = OA = R. 4OAD vuông cân nên AD = OA√2 = R √2 = BC. Kẻ OH ⊥ CD, ta có CD = 2CH = 2R sin 60◦ = R √3. Nhận xét. Trong lời giải của câu a) chúng ta có thể thực hiện đơn giản hơn bằng cách: sđ AD˜ = sđ BC˜ = 90◦ ⇒ AD˜ = BC˜ ⇒ AB k CD. VÍ DỤ 7. Cho đường tròn (O; R). Cho một dây cung AB bằng cạnh hình vuông nội tiếp và một dây cung BC bằng cạnh tam giác đều nội tiếp (C và A nằm cùng phía đối với BO). Tính các cạnh của 4ABC và đường cao AH của nó theo R. LỜI GIẢI. Theo giả thiết, ta có AB = R √2, BC = R √3. Trong đường tròn (O), ta có sđ AC˜ = sđ BC˜ − sđ AB˜ = 120◦ − 90◦ = 30◦ ⇒ ABC = 15◦. O H A B C Trong 4ABH, ta có AH = AB sin 15◦ ≈ R √2 · 0,2588 ≈ 0,37R. Vì 4AHC vuông cân nên AC = AH√2 ≈ 2R · 0,2588 ≈ 0,52R. Nhận xét. Ví dụ trên thuộc dạng toán tính toán đơn giản. Tuy nhiên, để thực hiện được nó các em học sinh cần nhớ được công thức tính độ dài của tam giác đều và tứ giác đều nội tiếp trong đường tròn (O; R).