VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Góc nội tiếp, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Góc nội tiếp:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa 1. Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên một đường tròn và hai cạnh của nó cắt đường tròn. Trong hình mình họa bên, ta thấy ABC là góc nội tiếp chắn cung AbC ¯ (viết tắt là AC˜ và được hiểu là cung AC˜ không chứa điểm B). BCA là góc nội tiếp chắn cung BA˜. CAB là góc nội tiếp chắn cung CB˜. A C a B Định lí 1. Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. O A C a B Ta có minh họa ABC = 1 2 sđAC˜ = 1 2 AOC. Hệ quả 1. Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau của một đường tròn thì bằng nhau. Ta có minh học với các điểm A, A1, A1 ở cùng một phía với BC. BAC = BA 1C = BA 2C = 1 2 sđBC˜ AEB = CF D ⇔ AB˜ = CD˜ ⇔ AB = CD. O A1 A2 A C a B Hệ quả 2. Góc nội tiếp chắc nửa đường tròn là góc vuông. Ta có minh họa: BAC = 90◦ BC là đường kính (O ∈ BC). Hệ quả 3. Trong một đường tròn, mọi góc nội tiếp không quá 90◦ có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. Ta có minh họa sau ABC = 1 2 AOC. O A C B B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1. Giải bài toán định lượng Phương pháp giải: Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng.
VÍ DỤ 1 (Bài 17/tr 75-Sgk). Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng êke thì phải làm như thế nào? LỜI GIẢI. Để xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng êke, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Kẻ đường thẳng cắt đường tròn tại A và B. Bước 2: Qua B, dùng êke kẻ đường thẳng vuông góc với AB ở B và cắt đường tròn tại C. Bước 3: Nối C với A. Bước 4: Qua A, dùng êke kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại A và cắt đường tròn tại D. Bước 5: Nối B với D. Giao điểm của AC và BD là tâm của đường tròn. VÍ DỤ 2. Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4 cm và một cạnh góc vuông dài 2,5 cm. LỜI GIẢI. Giả sử dựng được 4ABC vuông có cạnh huyền BC = 4 cm, cạnh góc vuông AB = 2,5 cm. Gọi O là trung điểm của BC. Ta có: OB = OC = OA = 2 cm. Vậy 4ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC có cạnh AB = 2,5 cm. Cách dựng: Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Dựng đường tròn bán kính r = 2 cm. Bước 2: Qua O kẻ đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm B và C. Bước 3: Dựng đường tròn tâm B, bán kính 2,5 cm và cắt đường tròn (O) tại A1 và A2. Vậy 4A1BC va A2BC thỏa mãn đề bài. 4! Tại bước 3, ta cũng có thể dựng đường tròn tâm C, bán kính 2,5 cm và cắt đường tròn (O) tại A3 và A4.
VÍ DỤ 3. Cho 4ABC. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC, AC, BA theo thứ tự tại D, E, F. Cho biết BAC = EDF. Tính số đo của góc BAC. LỜI GIẢI. Ta có EDF = 1 2 EIF, góc nội tiếp và góc ở tâm. BAC = 1 2 EIF ⇔ EIF = 2BAC. Xét tứ giác AEIF, ta có: E F I B A C D AEI = AF I = 90◦, vì (I) tiếp xúc với AB, AC BAC + AEI + EIF + AF I = 360◦ ⇔ BAC + 90◦ + 2BAC + 90◦ = 360◦ ⇔ BAC = 60◦. Nhận xét. Như vậy, trong lời giải của ví dụ trên chúng ta đã sử dụng các kết quả để giải nó, cụ thể Mối liên hệ giữa góc nội tiếp với góc ở tâm. Tính chất của đường tròn nội tiếp tam giác. Tổng các góc trong một tứ giác. DẠNG 2. Giải bài toán định tính Phương pháp giải: VÍ DỤ 4 (Bài 19/tr 75-Sgk). Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB. LỜI GIẢI. Ta có AMB và ANB là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên: BMA = ANB = 90◦. Do đó, BM ⊥ AS, AN ⊥ SB ⇒ H là trực tâm của 4SAB. Vậy, ta được AH ⊥ AB. VÍ DỤ 5. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D. Gọi K là giao điểm của EB với đường tròn (O) và H là giao điểm của BD và AK. 1 4ABE là tam giác gì? 2 Chứng minh rằng EH vuông góc với AB. 3 Chứng minh rằng OD vuông góc với AK. O A B H K D E.
LỜI GIẢI. Xét 4ABE, ta có: ADB = 90◦, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ⇔ BD ⊥ AE. (1) tức là BD là trung tuyến vừa là đường cao, do đó 4ABE cân tại B. Ta có ngay AKB = 90◦, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ⇔ AK ⊥ BE. (2) Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm 4ABE, do đó BE ⊥ AB. Nhận xét rằng OD là đường trung bình của 4ABE, do đó: OD k BE ⇔ OD ⊥ AK, đpcm. Nhận xét. Như vậy, trong lời giải của ví dụ trên chúng ta đã sử dụng các kết quả về số đo của góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. VÍ DỤ 6. Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có: MA2 = MB · MC. LỜI GIẢI. Ta có CA ⊥ AB (tính chất của hai tiếp tuyến). Suy ra 4ABC vuông tại A. Mặt khác, AMB = 90◦ (góc nội tiếp chắc nửa đường tròn) nên AM là đương cao của 4ABC. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có MA2 = MB · MC- đpcm. VÍ DỤ 7. Cho 4ABC có ba góc nhọn. Đường tròn (O) có đường kính BC cắt AB, AC tại D, E. Gọi I là giao điểm của BE và CD. 1 Chứng minh rằng AI ⊥ BC. 2 Chứng minh rằng IAE = IDE. 3 Cho BAC = 60◦, chứng minh 4DOE là tam giác đều. LỜI GIẢI. 1 Ta có BDC = BEC – vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. ⇒ BE, CD là đường cao của 4ABC. ⇒ I là trực tâm của 4ABC ⇒ AI ⊥ BC.
Ta có thể chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Ta có: IAE = CBE – vì góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc CB ⊥ IA, BE ⊥ AE. IDE = CBE -vì góc nội tiếp chắn cung CE ⇒ IAE = IDE. Cách 2: Ta có ADI = AEI = 90◦ ⇒ D, E thuộc đường tròn có đường kính IA. Khi đó, các góc IAE và IDE là góc nội tiếp chắn cung IE của đường tròn nên IAE = IDE. 3 Trong 4ACD vuông tại D có Ab = 60◦, ta suy ra: ACD = 30◦ ⇒ DOE = 2ACD = 60◦. Khi đó, 4DOE có DOE = 60◦ nên là tam giác đều. O B C I D E A VÍ DỤ 8 (Bài 26/tr 76-Sgk). Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (O). Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S. Chứng minh rằng SM = SC và SN = SA. LỜI GIẢI. Nối AM và NC. Xét 4AMS và 4NSC, ta có: MAS = CNS (góc nội tiếp cùng chắn cung MBC) AMS = NCS (góc nội tiếp cùng chắn cung AN) Lại có MB = MA(M là đỉnh chính giữa cung AB) MB = MC(hai cung chắn giữa hai dây song song). Suy ra cung AM = NC ⇒ MA = CN. Vậy, ta có 4AMS = 4NCS(g.c.g)⇒ SM = SC, SN = SA.