VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Sử dụng quỹ tích cung chứa góc chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Sử dụng quỹ tích cung chứa góc chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn:
Phương pháp giải: Phương pháp Việc sử dụng quỹ tích cung chứa góc α để chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn, dựa trên nhận xét: “Nếu các điểm M, N nằm cùng phía đối với AB và AMB = ANB thì bốn điểm A, M, N, B cùng thuộc một đường tròn”. 4! Điều kiện cùng phía của các điểm M, N đối với AB là bắt buộc, bởi trong các trường hợp khác chỉ đúng với AMB = ANB = 90◦. M N A B α α VÍ DỤ 1 (Bài 51/tr 87 – Sgk). Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC với Ab = 60◦. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB0 và CC0.
Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn. LỜI GIẢI. Xét tứ giác AB0HC0, ta có B0HC0 = 360◦ − Ab + B + Cb = 360◦ − (60◦ + 90◦ + 60◦ ) = 120◦. ⇒ BHC = B 0HC0 = 120◦. Xét 4BIC, ta có BIC = 180◦ − BIC + ICB = 180◦ − B 2 + Cb 2 = 180◦ − 1 2 180◦ − Ab = 120◦. Như vậy, H và I đều nằm trên cung chứa góc 120◦ dựng trên BC. Mặt khác, 4ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O nên góc nội tiếp BAC trong đường tròn (O) có số đo là 60◦ = BAC = 1 2 · sđ BC˜ = 1 2 BOC ⇒ BOC = 120◦. Vậy, O nằm trên cung chứa góc 120◦ dựng trên BC. Nghĩa là 5 điểm B, C, O, I, H nằm trên cùng một đường tròn chứa cung chứa góc 120◦ dựng trên BC. A B C H C 0 B0 O I VÍ DỤ 2. Cho hình thang cân ABCD (AB k CD). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. LỜI GIẢI.
Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Xét hai tam giác 4ABD và 4BAC, ta có: AB chung BAD = ABC, vì ABCD là hình thang cân AD = BC, vì ABCD là hình thang cân Do đó: 4ABD = 4BAC (c.g.c) ⇒ ADB = ACB. Vậy, các điểm C, D nằm cùng phía đối với AB và thoả mãn ADB = ACB nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. A D C B Cách 2: Xét hai tam giác 4ACD và 4BDC, ta có: CD chung ADC = BCD, vì ABCD là hình thang cân AD = BC, vì ABCD là hình thang cân Do đó: 4ACD = 4BDC (c.g.c) ⇒ CAD = CBD. Vậy, các điểm A, B nằm cùng phía đối với CD và thoả mãn CAD = CBD nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Nhận xét: Đường tròn đi qua bốn đỉnh của hình thang ABCD được gọi là “Đường tròn ngoại tiếp ABCD” hoặc “Hình thang ABCD nội tiếp đường tròn này”.
VÍ DỤ 3. Cho ∆ABC cân tại A. Lấy hai điểm E, F theo thứ tự thuộc AB, AC sao cho AE = AF. Chứng minh rằng bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn. LỜI GIẢI. Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1:Xét hai tam giác ∆ABF và ∆ACE, ta có: AB = AC, vì ∆ABC cân tại A Ab chung AE = AF, giả thiết Do đó: ∆ABF = ∆ACE (c.g.c) ⇒ ABF = ACE ⇔ EBF = F CE. Vậy các điểm B, C nằm phía dưới đối với EF và thoả mãn EBF = F CE nên bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn. A E F B C Cách 2: Chứng minh như trong cách 1, ta được: ∆ABF = ∆ACE (c.g.c) ⇒ AF B = AEC ⇔ 180◦ − AF B = 180◦ − AEC ⇔ CF B = BEC. Vậy, các điểm B, C nằm cùng phía đối với EF và thoả mãn EBF = F CE nên bốn điểm B, C, E, F thuộc cùng một đường tròn. Cách 3: Xét hai tam giác ∆EBC và ∆F CB, ta có: EB = AB = AE = AC − AF = F C, vì ∆ABC cân tại A EBC = F CB, vì ∆ABC cân tại A BC chung Do đó: ∆EBC = ∆F CB (c.g.c) ⇒ BEC = CF B. Vậy, các điểm E, F nằm cùng phía đối với BC và thoả mãn BEC = CF B nên bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.