VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Sử dụng tứ giác nội tiếp giải các bài toán hình học, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Sử dụng tứ giác nội tiếp giải các bài toán hình học:
Phương pháp giải: Phương pháp Khi đã có được một tứ giác nội tiếp hoặc đã chứng minh được một tứ giác nội tiếp ta có thể suy ra Các cặp góc đối bù nhau. Các cặp góc nội tiếp cùng chắc một cung bằng nhau. Đó chính là lợi ích của tứ giác nội tiếp để thực hiện các yêu cầu khác của bài toán hình học. VÍ DỤ 1 (Bài 54/tr 89 – Sgk). Tứ giác ABCD có ABC + ADC = 180◦. Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm. LỜI GIẢI. Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối ABC +ADC = 180◦ nên nó là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O. Đường tròn (O) cũng là đường tròn ngoại tiếp 4ABC nên O là giao điểm các đường trung trực của AB và AC. Tương tự, (O) là đường tròn ngoại tiếp 4BCD nên O nằm trên đường trung trực của BD. Vậy các trung trực của AB, BD, AC cùng đi qua điểm O. C O B A D VÍ DỤ 2. Tìm điều kiện để hình thang ABCD (AB k CD) nội tiếp được. LỜI GIẢI. Vì ABCD là hình thang, nên ta có Ab + D = 180◦ (1). Để ABCD nội tiếp được, điều kiện là B + D = 180◦ (2).
Từ (1) và (2) suy ra Ab = B ⇔ ABCD là hình thang cân. A B D C VÍ DỤ 3 (Bài 55/tr 89 – Sgk). Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M, biết DAB = 80◦, DAM = 30◦, BMC = 70◦. Hãy tính số đo các góc MAB, BCM, AMB, DMC, AMD, MCD, BCD. LỜI GIẢI. Ta có MAB = DAB − DAM = 80◦ − 30◦ = 50◦. BCD = 180◦ − DAB = 180◦ − 80◦ = 100◦. Kẻ đường kính CC0. Ta có BCM = BCC 0 = 1 2 sđCC¯0 − sđBC˜ = 1 2 (180◦ − 70◦) = 55◦. M B D C 0 A C Suy ra MCD = BCD − BCM = 100◦ − 55◦ = 45◦. AMD = 180◦ − DAM + ADM = 180◦ − (30◦ + 30◦) = 120◦. DMC = sđCD˜ = sđDB˜ − sđBC˜ = 160◦ − 70◦ = 90◦. AMB = 360◦ − BMC + CMD + DMA = 360◦ − (70◦ + 90◦ + 120◦) = 80◦. VÍ DỤ 4. Cho nửa đường tròn đường kính AB và một dây CD. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với CD, cắt AB tại I. Các tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng: 1 Các tứ giác AECI và BF CI nội tiếp được. 2 4IEF 4CAB, từ đó suy ra 4IEF vuông.
LỜI GIẢI. 1 Theo tính chất của tiếp tuyến ta có AE ⊥ AB, BF ⊥ AB. Tứ giác AECI có EAI + ECI = 90◦ + 90◦ = 180◦. Suy ra tứ giác AECI nội tiếp đường tròn (O1). Tứ giác BF CI có IBF + ICF = 90◦ + 90◦ = 180◦. Suy ra tứ giác BF CI nội tiếp đường tròn (O2). 2 Xét hai tam giác 4IEF và 4CAB, ta có B F A E C O D I IEF = CAB – vì hai góc nội tiếp cùng chắn cung CI của đường tròn (O1). IF E = CBA – vì hai góc nội tiếp cùng chắn cung CI của đường tròn (O2). Vậy 4IEF 4CAB suy ra EIF = ACB. Mặt khác ACB = 90◦ – vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB nên EIF = 90◦, suy ra 4IEF vuông. Nhận xét. Khi đã chứng minh được một tứ giác nội tiếp ta có thể vẽ đường tròn đi qua bốn đỉnh của nó, để dễ nhận ra các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. VÍ DỤ 5. Cho 4ABC, các đường phân giác của các góc trong B và Cb và gặp nhau tại S, các đường phân giác của các góc ngoài B và Cb gặp nhau tại E. Chứng minh rằng: 1 BSCE là tứ giác nội tiếp. 2 Ba điểm A, S, E thẳng hàng. 3 Trung điểm M của SE thuộc đường tròn ngoại tiếp 4ABC. LỜI GIẢI. 1 Ta có Vì BS, BE là các tia phân giác của hai góc kề bù nên BS ⊥ BE.
Vì CS, CE là các tia phân giác của hai góc kề bù nên CS ⊥ CE. Suy ra SBE + SCE = 90◦ + 90◦ = 180◦. Do đó, tứ giác BSCE nội tiếp (cụ thể nội tiếp đường tròn đường kính SE). 2 Vì AS và AE đều là tia phân giác của góc BAC nên A, S, E thẳng hàng. 3 Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau Cách 1: Vì M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BSCE nên SCB = 1 2 SMB. Mặt khác SCB = 1 2 ACB ⇒ SMB = ACB (1). Tương tự ta cũng có SMC = ABC (2). Từ (1) và (2) ta được BMC = SMB + SMC = ACB + ABC. ⇒ BMC + BAC = ACB + ABC + BAC = 180◦. Do đó tứ giác ABMC nội tiếp. Vậy điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp 4ABC. Cách 2: Chứng minh tương tự như trong cách 1 ta được SMB = ACB ⇔ AMB = ACB. B C A S M E Suy ra M và C thuộc cùng một cung chứa góc vẽ về một phía của AB. Vậy M thuộc đường tròn ngoại tiếp 4ABC.
Nhận xét. Để chứng minh ABMC là tứ giác nội tiếp (câu b) trong cách 1 ta sử dụng định lí đảo Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180◦ thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn, trong cách 2 ta sử dụng cung chứa góc Nếu các điểm C, M nằm cùng phía đối với AB và AMB = ACB thì C, M, A, B thuộc cùng một đường tròn. VÍ DỤ 6. Cho hai đường tròn (O) và (O0) cắt nhau tại A và B. Vẽ một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại C và cắt đường tròn (O0) tại D. Vẽ một đường thẳng qua B cắt đường tròn (O) tại E và đường tròn (O0) tại F. Hai đường thẳng CD và EF không cắt nhau ở bên trong hai đường tròn. Chứng minh rằng CE k DF. LỜI GIẢI. Vẽ dây chung AB ta có DAB + CAB = 180◦ (1). Tứ giác ABEC là tứ giác nội tiếp nên CEB + CAB = 180◦ (2). Từ (1),(2) ⇒ CEB = DAB (3). Tứ giác ABF D là tứ giác nội tiếp nên DAB + DF B = 180◦. Kết hợp với (3) ta có CEB + DF B = 180◦ ⇒ CE k DF. B A D E C F Nhận xét. Trong ví dụ này, ta đã chứng minh CEB = DAB. Một cách tổng quát Mỗi góc của tứ giác nội tiếp bằng góc ngoài của góc đối diện với nó.