VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn:
Để chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau Cách 1: Nếu biết một giao điểm A của d và (O) thì ta chứng minh OA ⊥ d. Cách 2: Hạ OA vuông góc với d, ta đi chứng minh OA = R. Ví dụ 1. Cho 4ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O. Vẽ hình bình hành ABCD. Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh rằng 1 Đường thẳng AD là tiếp tuyến của đường tròn (O). 2 Ba đường thẳng AC, BD và ON cùng đi qua một điểm. Lời giải. C I D N B O A 1 Vì 4ABC cân tại A nên OA ⊥ BC. Vì ABCD là hình bình hành nên AD ∥ BC ⇒ AD ⊥ OA. Điều này chứng tỏ AD là tiếp tuyến của đường tròn (O). 2 Gọi I là giao điểm của AC và BD, suy ra I là trung điểm AC ⇒ OI ⊥ AC. Mặt khác, 4AON = 4CON ⇒ OA = OC và N A = NC. Do đó NO là trung trực AC ⇒ ON ⊥ AC. Vậy nên I ON, suy ra AC, BD, ON cùng đi qua điểm I. Nhận xét. 1 Như vậy, trong ví dụ trên để chứng minh AD là tiếp tuyến của đường tròn (O), ta chỉ cần chứng minh AD ⊥ OA bởi A (O). 2 Với yêu cầu ngược lại “Tìm điều kiện để đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O;R)” ta cần có d(O,d) = R.
Ví dụ 2. Cho đường tròn (O), đường kính AB. Vẽ CD vuông góc với OA tại trung điểm I của OA. Các tiếp tuyến với đường tròn tại C và tại D cắt nhau ở M. 1 Chứng minh rằng ba điểm M, A, B thẳng hàng. 2 Tứ giác OCAD là hình gì? 3 Tính CMD. 4 Chứng minh rằng đường thẳng MC là tiếp tuyến của đường tròn (B;BI). Lời giải. A C M K D I O B 1 Ta có AB là đường kính vuông góc với CD nên AB là đường trung trực của CD. Ta lại có MC = MD (do 4MDO = 4MCO) nên M thuộc trung trực của CD, tức là M AB. Do đó M, A, B thẳng hàng. 2 Tứ giác OC AD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường nên OCAD là hình thoi. 3 Trong 4AOC ta có OA = OC = C A ⇔ 4OAC là tam giác đều. Do đó AOC = 60◦ ⇒ CMO = 30◦ ⇒ CMD = 60◦. 4 Hạ BK vuông góc với MC, ta có MCA = DC A = 30◦ ⇒ C A là phân giác của góc MCD. Ta lại có AC ⊥ BC nên CB là phân giác góc KCD ⇒ BI = BK. Do đó MC là tiếp tuyến của đường tròn (B;BI).
Nhận xét. 1 Ở câu a), để chứng minh M, A, B thẳng hàng chúng ta xác định vị trí của chúng đối với CD và cụ thể chúng nằm trên đường trung trực của CD do đó xuất phát từ nhận xét AB là trung trực của CD chúng ta chỉ cần chứng minh M cũng thuộc trung trực của CD, điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi MC = MD. 2 Ở câu b), chúng ta sử dụng kết quả “Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường”. 3 Ở câu c), chúng ta sử dụng kết quả câu b) và tính chất của tiếp tuyến đường tròn. 4 Ở câu d) chúng ta sử dụng kết quả về vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn để đưa ra kết luận cho tiếp tuyến MC và dễ thấy MD cũng là tiếp tuyến của (B;BI). 5 Các kết quả ở câu a) và câu d) vẫn đúng nếu thay điều kiện “trung điểm I của OA” bới “I nằm giữa O và A”. Trong trường hợp này ta chứng minh MC A = ACD bằng nhận xét MC A phụ với ACO, ACD phụ với C AO, mà ACO = C AO.