VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Một số hệ thức về cạnh và đường cao của tam giác vuông, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Một số hệ thức về cạnh và đường cao của tam giác vuông:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 HỆ THỨC GIỮA CẠNH GÓC VUÔNG VÀ HÌNH CHIẾU CỦA NÓ TRÊN CẠNH HUYỀN Định lí 1. Trong một tam giác vuông, bình phương của một cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền. Như vậy, trong 4ABC vuông tại A, ta nhận được AB2 = BC ·BH ⇔ c2 = a· c0 AC2 = BC ·CH ⇔ b2 = a· b0. 2 MỘT SỐ HỆ THỨC LIÊN QUAN TỚI ĐƯỜNG CAO Định lí 2. Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền. Như vậy, trong 4ABC vuông tại A, ta nhận được AH2 = BH ·CH ⇔ h2 = b0· c0. Định lí 3. Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng. Như vậy, trong 4ABC vuông tại A, ta nhận được AB · AC = AH ·BC ⇔ b · c = a· h. Định lí 4. Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông. Như vậy, trong 4ABC vuông tại A, ta nhận được.
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ví dụ 1. Cho 4ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm, AH là đường cao. Tính độ dài các đoạn thẳng BC BH CH AH. Lời giải. Ta lần lượt có BC = p AB2 + AC2 = 5cm. BH = AB2 BC = 9 5 cm. Ví dụ 2. Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BH = 3cm CH = 16 3 cm. 1 Tính độ dài các cạnh của 4ABC. 2 Tính độ dài AH. Lời giải. 1 BC = BH +CH = 3+ 16 3 = 25 3 cm. AB2 = BH ·BC = 3· 25 3 = 25 ⇔ AB = 5cm. AC2 = CH ·BC = 16 3 · 25 3 = 400 9 ⇔ AC = 20 3 cm. Ví dụ 3. Cho 4ABC vuông tại A, AB = 6cm,BC = 10cm. Tính độ dài đường cao AH. Lời giải. Ta có AB = p BC2 − AB2 = p 100−36 = 8cm. Suy ra 1 AH2 = 1 AB2 + 1 AC2 = 1 6 2 + 1 8 2 = 255 576 ⇔ AH = 5 24 cm.
2 GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH Ví dụ 1. Cho 4ABC vuông tại A, AH là đường cao, H,F lần lượt là các đường cao của 4AHB 4AHC. Chứng minh rằng BC2 = 3AH2 +BE2 +CF2 1. Lời giải. 1 Ta có 3AH2 +BE2 +CF2 = 3AH2 +BH2 − HE2 + CH2 − HF2 = 3AH2 − EF2 +(BH +CH) 2 −2HB · HC = 2AH2 +BC2 −2AH2 = BC2. 2 Trong 4AHB ta có BE = BH2 BA ⇒ BE2 = BH4 BA2 = BH4 BH ·BC = BH3 BC (1). Trong 4AHC ta có CF = CH2 C A ⇒ CF2 = CH4 C A2 = CH4 CH ·BC = CH3 BC (2). Từ (1) và (2) suy ra p3 BE2 + p3 CF2 = BH p3 BC + CH p3 BC = BC p3 BC = p3 BC2. A F E C H B. Ví dụ 2. Cho 4ABC, biết S = 1 4 ·(a+ b − c)·(a− b + c) (1). Chứng minh 4ABC vuông. Lời giải. Sử dụng công thức Hêrông, ta có (1) ⇔ p p ·(p − a)·(p − b)·(p − c).
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho 4ABC vuông tại A, AB = 15, AC = 20, AH là đường cao. 1 Tính BC. 2 Tính BH. 3 Tính CH. 4 Tính AH. Lời giải. Trong 4ABC vuông tại A, ta có: 1 BC = p AB2 + AC2 = 25. 2 AB2 = BC ·BH ⇒ BH = AB2 BC = 9. 3 AC2 = BC ·CH ⇒ CH = AC2 BC = 16. 4 AC · AB = AH ·BC ⇒ AH = AB · AC BC = 12. A C H B Bài 2. Cho 4ABC vuông tại A, AB < AC, biết rằng đường cao AH = 6 p 13 13 cm, BC = p 13cm. 1 Tính AB. 2 Tính AC. 3 Tính HB. 4 Tính HC. Lời giải. Gọi độ dài các cạnh AB, AC (AB < AC) lần lượt là x, y với x > y > 0. Khi đó ta có hệ AH ·BC = AB · AC 1 AH2
Ta phải chứng minh AD2 = AB · AC −DB ·DC. Thật vậy, trên tia đối AD lấy E sao cho CBE ⇒ 4CED ∼ 4ABD (g.g) suy ra DB ·DC = AD ·DE ⇒ 4ABD ∼ 4AEC (g.g) suy ra AB · AC = AD · AE Do đó AB · AC −DB ·DC = AD(AE −DE) = AD2 Khi đó AD2 = AB · AC −DB ·DC. Theo giả thiết 4ABC vuông tại A nên b 2 + c 2 = a 2. Bài 7. Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH, r, r1, r2 lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp tam giác vuông ABC, AHB, AHC. Chứng minh rằng r1 = r · c Lời giải. Bài 8. Cho 4ABC vuông tại A, D là hình chiếu của A trên BC, E và F lần lượt là hình chiếu của D xuống AB và AC. Các khẳng định sau là đúng hay sai? Tất cả các khẳng định trên đều đúng vì: Thay (4),(5),(6) vào (3) ta suy ra AD3 = BC ·BE ·CF.