VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn:
Phương pháp giải: Phương pháp Để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn chúng ta có thể lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm. Tức là, nếu ta có OA = OB = OC = OD thì tứ giác ABCD nội tiếp (O, OA). C O B A D Cách 2: Chứng minh tổng hai góc đối diện bằng hai góc vuông. Tức là, nếu ta có BAD + BCD = 180◦ hoặc ABC + ADC = 180◦ thì tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn. C O B A D Cách 3: Dùng cung chứa góc α. Tức là, nếu ta có ACB = ADB và C, D cùng phía với AB thì tứ giác ABCD nội tiếp. C B A D.
VÍ DỤ 1. Chứng minh rằng hình chữ nhật ABCD nội tiếp được. LỜI GIẢI. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD, ta có ngay OA = OB = OC = OD ⇔ ABCD nội tiếp trong (O, OA). D A B C VÍ DỤ 2 (Bài 58/tr 90 – Sgk). Cho 4ABC đều. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB = DC và DCB = 1 2 ACB. 1 Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp. 2 Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D. LỜI GIẢI. 1 4DBC cân đỉnh D nên DBC = DCB = 1 2 ACB = 30◦. Suy ra CDB = 180◦ − DBC + DCB = 120◦. Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối Ab + D“ = 60◦ + 120◦ = 180◦.
Vậy tứ giác ABDC nội tiếp. D B A O C 2 Do đường tròn ngoại tiếp 4ABC cũng đồng thời là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD nên để xác định tâm đường tròn qua A, B, C, D chỉ cần tìm giao điểm O của AD với đường cao BB0 của 4ABC. Đường tròn (O, OA) đi qua A, B, C, D. VÍ DỤ 3. Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. 1 Chứng minh rằng AMNC là một tứ giác nội tiếp. 2 Chứng minh rằng MNP Q là một tứ giác nội tiếp. LỜI GIẢI. 1 Xét hai tam giác 4AMC và 4CNA, ta có AC chung; MAC = NCA ; AM = CN = a 2. Suy ra 4AMC = 4CNA (c.g.c) ⇒ CMA = ANC. Vậy tứ giác AMNC nội tiếp được một đường tròn. D Q P A O C B M N 2.
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Vì OM, ON, OP, OQ theo thứ tự là đường trung tuyến của các tam giác vuông 4OAB, 4OBC, 4ODA nên OM = 1 2 AB = a 2, ON = 1 2 BC = a 2, OP = 1 2 CD = a 2, OQ = 1 2 DA = a 2. Suy ra OM = ON = OP = OQ = a 2 ⇔ MNP Q nội tiếp đường tròn O, a 2. Cách 2: Vì MN, P Q theo thứ tự là đường trung bình của các tam giác 4ABC, 4ADC nên MN k = 1 2 AC, P Q k = 1 2 AC ⇒ MN k = P Q ⇒ MNP Q là hình bình hành. Mặt khác MNP = BOC = 90◦ − vì là hai góc có cạnh tương ứng song song. Suy ra MNP Q là hình chữ nhật, do đó nó nội tiếp được một đường tròn.