VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Giải bài toán có nội dung hình học bằng cách lập phương trình, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Giải bài toán có nội dung hình học bằng cách lập phương trình:
Phương pháp giải: VÍ DỤ 1 (Bài 46/tr59-SGK). Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m2. Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài 4 m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất. LỜI GIẢI. Gọi x là chiều dài hình chữ nhật (x > 4, đơn vị: m). Suy ra, chiều rộng hình chữ nhật là 240 x. Ta có phương trình (x − 4) Å 240 x + 3ã = 240 ⇔ (x − 4)(240 + 3x) = 240x ⇔ 3x 2 − 12x − 960 = 0 ⇔ x = 20 x = −16 (loại). Vậy hình chữ nhật có chiều dài là 20 m và chiều rộng là 12 m. VÍ DỤ 2. Tính chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật. Biết hình chữ nhật có chu vi bằng 340 m và diện tích bằng 7200 m2. LỜI GIẢI. Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (x > 0, đơn vị: m). Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là y (0 < y < x, đơn vị: m). Do hình chữ nhật có chu vi 340 m và diện tích 7200 m2 nên ta có hệ phương trình ( 2(x + y) = 340 xy = 7200 ⇔ ( x + y = 170 xy = 7200.
Theo định lí Vi-ét x, y là nghiệm của phương trình X 2 − 170X + 7200 = 0 ⇔ X = 80 X = 90. Vậy hình chữ nhật có chiều dài bằng 90 m và chiều rộng bằng 80 m. 4! Như vậy, trong lời giải của ví dụ trên ta thấy: Với hai giá trị phải tìm chúng ta lựa chọn nó cho hai ẩn tương ứng. Từ đó, cần đi thiết lập một hệ hai phương trình theo hai ẩn đó. Hệ phương trình được giải nhờ hệ thức Vi-ét VÍ DỤ 3 (Bài 66/tr64-SGK). Cho tam giác ABC có BC = 16 cm, đường cao AH = 12 cm. Một hình chữ nhật MNP Q có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q thuộc cạnh BC. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36 cm2. LỜI GIẢI. Ta có SMNP Q = MN · NP = MN(AH − AK) ⇒ MN(AH − AK) = 36. (1) Lại có 4AMN v 4ABC nên AM AB = MN BC = AK AH = k ⇒ MN = k · NC = 16k; AK = k · AH = 12k. Thay vào (1) ta được 16k(12 − 12k) = 36 ⇔ k = 1 4 k = 3 4. B C A K Q H M N P Vậy điểm M cần chọn trên cạnh AB sao cho AM AB = 1 4 hoặc AM AB = 3 4. VÍ DỤ 4. Một thửa ruộng hình chữ nhật, một người đi theo chiều dài hết 1 phút 5 giây, đi theo chiều rộng hết 39 giây. Người ta làm một lối đi xung quanh thửa ruộng rộng 1,5 m thì diện tích còn lại là 5529 m2. Tính kích thước của thửa đất.
LỜI GIẢI. Đổi 1 phút 5 giây = 65 giây. Gọi chiều dài của thửa ruộng là x (x > 0, đơn vị: m). Gọi chiều rộng của thửa ruộng là y (y > 0, đơn vị: m). Đi bộ theo chiều dài hết 65 giây, theo chiều rộng hết 39 giây nên ta có tỉ số x y = 65 39 = 5 3. (1) Người ta làm một lối đi xung quanh thửa ruộng rộng 1,5 m do đó: Chiều dài còn lại là x − 3. Chiều rộng còn lại là y − 3. Biết diện tích còn lại là 5529 m2 nên ta có phương trình (x − 3)(y − 3) = 5529. (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình x y = 5 3 (x − 3)(y − 3) = 5529 ⇔ x = 5y 3 (3) (x − 3)(y − 3) = 5529 (4). Thay (3) vào (4) ta được Å 5y 3 − 3 ã (y − 3) = 5529 ⇔ (5y − 9)(y − 3) = 16587 ⇔ 5y 2 − 24y − 16560 = 0 ⇔ y = 60 y = − 276 5 (loại) ⇒ x = 100. Vậy thửa ruộng có chiều rộng bằng 60 m và chiều dài bằng 100 m.