VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị liên quan đến độ dài vectơ, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị liên quan đến độ dài vectơ:
Chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị liên quan đến độ dài vectơ. Phương pháp. Sử dụng bất đẳng thức cơ bản: Với mọi vectơ a, b ta luôn có a +b = a + b , dấu bằng xảy ra khi a, b cùng hướng, dấu bằng xảy ra khi a, b ngược hướng. Đưa bài toán ban đầu về bài toán tìm cực trị của M với M thay đổi. Nếu M là điểm thay đổi trên đường thẳng A khi đó Mi đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của M lên A. Nếu M là điểm thay đổi trên đường tròn (O) khi đó MI đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của tia XI với đường tròn; Mi đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của tia IO với đường tròn.
Các ví dụ. Ví dụ 1. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất T = MA + MB – MC. Gọi I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI thì IA + IB – IC = 0. Khi đó T = ( MI + IA + MI + IB) – (MI + IC). Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I lên đường thẳng d. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC và A’B’C’ là các tam giác thay đổi, có trọng tâm G và G’ cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng T = AA’+ BB’+ CC’. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các vectơ AA’, BB’, CC’ cùng hướng. Vậy giá trị nhỏ nhất T là 3GG’.