Chứng minh đẳng thức vectơ

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Chứng minh đẳng thức vectơ, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Chứng minh đẳng thức vectơ:
Chứng minh đẳng thức vectơ. Phương pháp giải. Sử dụng các kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng. Các tính chất phép toán vectơ. Các quy tắc: Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ. Tính chất trung điểm: M là trung điểm đoạn thẳng MA + MB = 0. M là trung điểm đoạn thẳng AB = OA + OB = 20M (Với O là điểm tuỳ ý). Tính chất trọng tâm: G là trọng tâm của tam giác ABC + GA + GB + GC = O. G là trọng tâm của tam giác ABC = OA + OB + 0C = 0G (Với O là điểm tuỳ ý).
Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ. Chứng minh rằng: a) AC + BD = 217, b) OA + OB + OC + OD = 7, c) MA + MB + MG + MD = MMO với M là điểm bất kì. a) Theo quy tắc ba điểm ta có AC = AI + IJ = AT + TJ + JC. Tương tự BD = BI + IJ + JD. Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên Al + BI = 0. b) Theo hệ thức trung điểm mặt khác O là trung điểm IJ nên OI. c) Theo câu b ta có OA + OB + 0C + OD = 0 do đó với mọi điểm M thì OA + OB + OC + OD = 7. Ví dụ 2: Cho hai tam giác ABC và ABC, có cùng trọng tâm G. Gọi G, G, G, lần lượt là trọng tâm tam giác BCA, ABC, ACB. Chứng minh rằng GG + GG + GG =0. Vì G là trọng tâm tam giác BCA lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, ACB. Công theo vế với vế các đẳng thức trên. Mặt khác hai tam giác ABC và ABC có cùng trọng tâm G.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp 0. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC vuông nếu tam giác ABC không vuông gọi D là điểm đối xứng của A qua O khi đó BH // DC (vì cùng vuông góc với AC) BD // CH (vì cùng vuông góc với AB). Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó theo quy tắc hình bình hành thì HB + HC = HD (1). Mặt khác vì O là trung điểm của AD nên HA + HD = 2HO (2). Ví dụ 4: Cho tam giác ABC với AB = C, BC = a, CA = b và có trọng tâm G. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu G lên cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng a.GD + b.GE + c GF = 0. Trên tia GD, GE, MF lần lượt lấy các điểm N, P, Q sao cho GN = a, GP = b, GQ = c và dựng hình bình hành GPKN mặt khác GBI là trọng tâm tam giác ABC nên SGBC = SGCA = SGAR theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta GN + GP + GQ = GR + GQ = 7.