Sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi) để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi) để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi) để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:
Sử dụng bất đẳng thức cauchy (côsi) để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Phương pháp giải. Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức côsi: Khi áp dụng bđt côsi thì các số phải là những số không âm BĐT côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích. Điều kiện xảy ra dấu “=” là các số bằng nhau. Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng. Đối với hai số: 0. Đối với ba số: abc áo. Các ví dụ minh họa. Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi.
Ví dụ 1: Cho a, b là số dương thỏa mãn a + b = 2. Chứng minh rằng: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. b) Ta có (a + b) = (a + 2ab + b2). Áp dụng BĐT côsi ta có đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. Ví dụ 2: Cho a, b, c là số dương. Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có tương tự ta có 1 + b > 2b > 2c. Mặt khác, áp dụng BĐT côsi cho ba số dương suy ra ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. c) Ta có (1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + (ab + bc + ca ) + (a + b + c) + abc. Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương. Mặt khác theo BĐT côsi cho ba số dương ta có đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp. Để chứng minh BĐT ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo biểu thức có thể giản ước được sau khi áp dụng BĐT côsi. Khi gặp BĐT có dạng 2 + y + z > a + b + c, ta thường đi chứng minh xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng (hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều phải chứng minh. Khi tách và áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc đảm bảo dấu bằng xảy ra (thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau hoặc tại biên). Loại 3: Kĩ thuật tham số hóa Nhiều khi không dự đoán được dấu bằng xảy ra (để tách ghép cho hợp lí) chúng ta cần đưa tham số vào rồi chọn sau sao cho dấu bằng xảy ra. Loại 4: Kĩ thuật côsi ngược dấu. Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất.