VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Xác định các yếu tố còn lại của một tam giác khi biết một số yếu tố về cạnh và góc của tam giác đó, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Xác định các yếu tố còn lại của một tam giác khi biết một số yếu tố về cạnh và góc của tam giác đó:
Xác định các yếu tố còn lại của một tam giác khi biết một số yếu tố về cạnh và góc của tam giác đó. Ở dạng toán này, chúng ta áp dụng trực tiếp định lý hàm số cosin hoặc hệ quả của định lý hàm số cosin để tìm các yếu tố còn lại của tam giác đã cho. BÀI TẬP DẠNG 2. Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có b = 5, c = 7 và cos A = 3. Tính cạnh a và cosin các góc còn lại của tam giác đó. Ví dụ 2. Một người đứng trên ngọn hải đăng A ở bờ biển quan sát hai chiếc tàu ở hai điểm B và C. Khoảng cách từ người đó tới chiếc tàu ở điểm B và C lần lượt là 5 km và 6 km. Góc tạo bởi hai hướng nhìn AB và AC là 60◦.
Tính khoảng cách d giữa hai chiếc tàu. Lời giải. Xét tam giác ABC với AC = 6 km, AB = 5 km, BAC ’ = 60◦. Áp đụng định lí cos ta có BC2 = AB2 + CA2 − 2.CA.AB. cos BAC. Từ đó suy ra BC2 = 52 + 62 − 2.5.6. cos 60◦ = 31 ⇒ BC = √31. Vậy khoảng cách giữa hai chiếc tàu là d = √31 km. Ví dụ 3. Cho x là số thực lớn hơn 1 và a = x, 2 + x + 1, b = 2x + 1, c = x2 − 1. Chứng minh rằng a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và tính số đo của góc đối diện với cạnh a. Ví dụ 4. Cho ∆ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Biết rằng tồn tại số tự nhiên n > 2 sao cho an = bn + c. Chứng minh rằng A là góc có số đo lớn nhất của tam giác, từ đó suy ra ∆ABC có 3 góc nhọn.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho tam giác ABC có AC = 10 cm, BC = 16 cm và C = 120◦, tính độ dài cạnh AB. Lời giải. Áp dụng định lý hàm số cosin ta có AB2 = CA2 + CB2 −2CA.CB cos C ta suy ra AB = √516 cm. Bài 2. Cho tam giác ABC có BC = 3, CA = 4 và AB = 6, Tính cosin của góc có số đo lớn nhất của tam giác đã cho. Lời giải. Do AB > AC > BC nên C > B > A. Áp dụng định lý hàm số cosin ta có cos C = − 11. Bài 3. Cho a2, b2, c2 là độ dài các cạnh của một tam giác nào đó và a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
Bài 4. Cho tứ giác nội tiếp ABCD có AB = CD = a, AD = b, BC = c. Chứng minh rằng cos A = b − c2a. Áp dụng định lý hàm số cosin cho hai tam giác BAD, BCD và chú ý BAD + BCD ta suy ra điều phải chứng minh. Bài 5. Cho tam giác ABC có ma = 15, mb = 18, mc = 27. a) Tính diện tích của tam giác ABC. b) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. a) Gọi G là trọng tâm ∆ABC; A0, B0, C0 lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB và D là điểm đối xứng của A qua G. Khi đó ta có BGCD là hình bình hành. S∆ABC = 3S∆GBC = S∆BGCD = S∆BGD. Tam giác BGD có độ dài các cạnh lần lượt là 10, 12, 18 nên S∆BGD = √20.10.8.2 = 40√2. Vậy S∆ABC = 120√2. b) Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến ta tính được a = 2√209, b = 8√11, c = 2√41.