VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Chứng minh hai điểm trùng nhau, hai tam giác cùng trọng tâm, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Chứng minh hai điểm trùng nhau, hai tam giác cùng trọng tâm:
Chứng minh hai điểm trùng nhau, hai tam giác cùng trọng tâm. Phương pháp giải. Để chứng minh hai điểm A và A, trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai cách sau. Cách 1: Chứng minh AA = 0. Cách 2: Chứng minh OA = OA với O là điểm tuỳ ý. Để chứng minh hai tam giác ABC và A’B’C’ cùng trọng tâm ta làm như sau: Cách 1: Chứng minh G là trọng tâm AABC trùng với G’ là trọng tâm AA’B’C’. Cách 2: Gọi G là trọng tâm AABC ta đi chứng minh GA’+ GB’+ GC’= 7.
Các ví dụ. Ví dụ 1: Chứng minh rằng AB = CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau. Lời giải Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC suy ra AI = ID, CJ = JB hay I trùng với J. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AM BN CP. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm. Cách 1: Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm AABC và AMNP. Suy ra GA + GB + GC = 0. Ta có AM = AB + AG + GG’ + G’M = AB. Tương tự BG + GG’+ G’N. Cộng vế với vế từng đẳng thức trên ta được (AG + BG + CG).
Cách 2: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra GA + GB + GC = 0. Vậy hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm. Ví dụ 3: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. Gọi G là trọng tâm của AMPR suy ra GM + GP + GR = 0. Mặt khác 2GM = GA + GB, 2GP – GC + GD, MK. Suy ra G là trọng tâm của ASNQ. Vậy AMPR và ASNQ có cùng trọng tâm. Ví dụ 4: Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ chung đỉnh A. Chứng minh rằng hai tam giác BC’D và B’C’D’ cùng trọng tâm. Gọi G là trọng tâm tam giác BC’D suy ra GB + GC + GD = 0. Mặt khác theo quy tắc phép trừ và hình bình hành.