VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phép đối xứng trục, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phép đối xứng trục:
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM. Định nghĩa. Cho đường thẳng d. Phép đối xứng qua đường thẳng d, kí hiệu là Đ, là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M đối xứng với M qua d (Khi đó d là đường trung trực của đoạn MM”). Phép đối xứng qua đường thẳng còn gọi đơn giản là phép đối xứng trục. Đường thẳng d gọi là trục của phép đối xứng, hay đơn giản là trục đối xứng. Gọi M, là hình chiếu vuông góc của M trên d. Ta có: Đ(M) = M’, M’ = -MM. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình (H) nếu Đ, biến (H) thành chính nó. Khi đó (H) gọi là hình có trục đối xứng. Biểu thức tọa độ. Trong mặt phẳng Oxy, gọi M(x; y) và M’ = 2. (M) = (x’; y’). Tính chất. Phép đối xứng trục: Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm tương ứng. Biến một đường thẳng thành đường thẳng. Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. Biến một đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng bán kính của đường tròn đã cho.
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Xác định ảnh của một hình qua phép đối xứng trục. Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục. Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(-4; 3) và đường thẳng d có phương trình. Tìm ảnh của M và d qua phép đối xứng trục có trục đối xứng là d là đường thẳng y = -1 + t 2x + y – 1 = 0. Gọi d’ = Đ. Vectơ chỉ phương của d là u = (2; 1), vectơ chỉ phương của d, là u =(-1; 2). Ta có: uu = 0. Vậy: d’ vuông góc d và do trùng với d. Gọi A là đường thẳng vuông góc với d: 2x + y − 1 = 0. Cho A qua M(-4; 3), ta có: x = 10. Vậy A: x – 2y + 10 = 0. Gọi I là giao điểm của A và d, thì tọa độ của I là nghiệm của hệ. Suy ra I. Mà I là trung điểm của MM. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x + y + 2x – 4y – 4 = 0 và đường elip (E). Tìm ảnh của (C) qua Đa với d: x + y = 0. Tìm ảnh của (E) qua Đ.
Dạng 2. Tìm trục đối xứng của một hình. Phương pháp giải: Dùng định nghĩa trục đối xứng của một hình, ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Chỉ ra một đường thẳng d là trục đối xứng của hình (H). Bước 2. Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc hình (H), ảnh M’ của M qua Đ, cũng thuộc (H). Ví dụ 1: Tìm các trục đối xứng của hình thoi. Cho hình thoi ABCD. Đặt ABCD là (H) và đường thẳng AC là d, ta có: Với mọi điểm M thuộc cạnh AB thì M thuộc (H). Vì d là trung trực của đoạn thẳng BD nên ảnh M’ của M qua Đ, thuộc cạnh AD. Do đó, M’ e (H). Tóm lại với mọi M thuộc hình thoi ABCD thì ảnh M’ của M qua Đ thuộc hình thoi ABCD. Vậy, AC là trục đối xứng của hình thoi ABCD. Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh BD là trục đối xứng của hình thoi ABCD. Tóm lại, hình thoi có hai trục đối xứng, đó là hai đường chéo của nó. Ví dụ 2. Tìm các trục đối xứng của một hình tròn. Gọi d là một đường thẳng đi qua tâm đường tròn. Với mọi điểm M thuộc đường tròn ta vẽ dây MM’ thì M’ là ảnh của M qua Đ. Suy ra, d là trục đối xứng của đường tròn.
Dạng 3. Tìm tập hợp điểm Phương pháp giải: Bước 1. Chọn ĐEM HP M’. Bước 2. Xác định tập hợp điểm M, suy ra tập hợp điểm M. Ví dụ: Cho hình vuông ABCD có A và C cố định, B di động trên một đường tròn (C) cho trước. Tìm tập hợp những điểm D. Dạng 4. Dùng phép đối xứng trục để dựng hình. Bước 1. Xác định Đ: M » M’. Bước 2. Xác định M, suy ra M (hoặc ngược lại) bằng Đ. Ví dụ: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d cố định và hai điểm A, B cố định, phân biệt nằm hai bên đường thẳng d. Hãy dựng điểm M trên d sao cho MA – MB lớn nhất. Với điểm M tùy ý trên d, ta có: MA – MB = MA – MB < AB'. Do đó: A, M, B' thẳng hàng. Cách dựng: Dựng B'= 2(B). Giao điểm của d và AB là điểm phải dựng. Bài toán có một nghiệm duy nhất khi AB không song song với d.