VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Hình nón nội tiếp, ngoại tiếp khối chóp đều, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Hình nón nội tiếp, ngoại tiếp khối chóp đều:
Dạng 3. Hình nón nội – ngoại tiếp khối chóp đều. Mô hình Hình vẽ tham khảo (3D) Tính chất Hình nón nội tiếp hình chóp tam giác đều. Chiều cao SO là chiều cao của hình chóp. Bán kính đáy OE là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đáy. Đường sinh l = SE Hình nón ngoại tiếp hình chóp tam giác đều. Chiều cao SO là chiều cao của hình chóp. Bán kính đáy OA là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy. Đường sinh l = SA. Hình nón nội tiếp hình chóp tứ giác đều.
Chiều cao SO là chiều cao của hình chóp. Bán kính đáy OM (với M là trung điểm AB) là bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông đáy. Đường sinh l = SM Hình nón ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều. Chiều cao SO là chiều cao của hình chóp. Bán kính đáy OA là bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông đáy. Đường sinh l = SA. Ví dụ 1: Thể tích khối nón ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a là?
Lời giải: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD ⇒ AO ⊥ (BCD). Dễ thấy, bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆BCD là 3 a 3 OB. Suy ra bán kính đáy hình nón là 3 a 3 R. Tam giác ABO vuông tại O, có 3 2 2 a 6 AO AB OB. Do đó, chiều cao của hình nón là 3 a 6 h AO. Vậy thể tích cần tính là? Chọn C. Ví dụ 2: Diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 4a là?
Lời giải: Theo bài ra, ta có bán kính đáy 2 a 2 R đường sinh l = 4a (xem mô hình ở lý thuyết). Vậy diện tích xung quanh cần tính là 2 4 2 2 2 a a a S Rl xq. Chọn A. Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = AB = a. Thể tích khối nón đỉnh S và có đường tròn đáy nội tiếp tam giác ABC bằng? Lời giải: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ⇒ SO ⊥ (ABC).
Bán kính đáy hình nón là 6 a 3 R r∆ABC OM. Tam giác SAO vuông tại O, có 3 2 2 a 6 SO SA OA. Vậy thể tích khối nón cần tính là 108. Chọn C. Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Tam giác SAB có diện tích bằng 2 2a. Thể tích khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác ABCD bằng? Lời giải: Gọi M là trung điểm AB SM AB S SAB SM AB.
Mà S SAB 2a AB a SM 2 2a. Bán kính đáy hình nón 2 2 AB a R OM. Tam giác SMO vuông tại M, có 2 2 2 3 7a SO SM OM. Vậy thể tích khối nón cần tính là? Chọn B. Ví dụ 5: Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng a và diện tích xung quanh 2 S 2 a xq π. Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD nội tiếp đáy hình nón và đỉnh S trùng với đỉnh của hình nón (N)?
Lời giải: Gọi O là tâm hình vuông ABCD ⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Theo bài ra, đáy hình nón là đường tròn ngoại tiếp ABCD 2 2 2 a AC a AB a AC ⇒ R RABCD OA. Diện tích xung quanh hình nón là Sxq Rl 2 a l 2a 2. Hình nón (N) có đường sinh l = SA = 2a. Tam giác SAO vuông tại O có 3 2 2 SO SA OA a. Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là a a VS ABCD SO S ABCD. Chọn D.
Ví dụ 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a, góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 60o. Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác ABC bằng? Lời giải: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ⇒ SO ⊥ (ABC). Bán kính đáy hình nón là 3 a 3 R R∆ABC OA. Gọi M là trung điểm AB AB (SMO) AB SO AB OM. Do đó SAB ABC SM OM SMO 60.
Tam giác SMO vuông tại O, có 3 3 cos a SM SM OM SMO. Tam giác SBM vuông tại M, có 6 2 2 a 21 SB = SM + BM. Vậy hình nón có đường sinh 6 7 6 21 2 a S Rl a l sq. Chọn A. Ví dụ 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB = BC = 10a, AC = 12a, góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 45o. Thể tích khối nón đỉnh S và có đường tròn đáy nội tiếp tam giác ABC bằng?
Lời giải: Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC SO ⊥ (ABC). Kẻ OM ⊥ AB ⇒ OM là bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC Diện tích ∆ABC là 2 S p p a p b p c 48a ∆ABC. Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp a p S ABC r ∆ ⇒ ∆ABC. Ta có AB SMO SAB ABC SMO 45. Tam giác SMO vuông tại O, có SO = OM = r∆ABC = 3a. Vậy thể tích khôi nón cần tính là 2 2 3 3 1 V R h a a πa. Chọn B.
Ví dụ 8: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến một mặt bên là 2a. Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng? Lời giải: Gọi M là trung điểm BC ⇒ BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ (SAM). Kẻ OH ⊥ SM mà BC ⊥ OH ⇒ OH ⊥ (ABC) 1 a OM = AM = AB = a. Tam giác SMO vuông tại O, có SO a OH SO OM 1 1. Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là 3 2a 3 R∆ABC. Vậy thể tích khối nón cần tính là 2 3 1 3 2 2 a a a V R h π π. Chọn C.