VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy – hình chóp đều, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy – hình chóp đều:
Phương pháp giải. 1) Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy. Xét hình chóp S.AA…A có cạnh bên SA vuông góc với đáy (AA2…An) và đáy AA…An nội tiếp được trong đường tròn tâm O. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp được xác định như sau: Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy d (đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy). Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh bên SA, cắt d tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính R = IA1 = IA2 = … = AB = IS.
2) Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều. Cho hình chóp đều S.AA….An có đáy là đa giác đều nối tiếp đường tròn tâm O. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp được xác định như sau: Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy d. Trong mặt phẳng chứa d và một cạnh bên của hình chóp, chẳng hạn SA, dựng đường thẳng trung trực của cạnh SAN cắt SO tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.A1 A2… An, bán kính R = IA = IA2 = … = IAn = IS. Tập hợp các điểm trong không gian nhận hai điểm cho trước dưới một góc vuông là mặt cầu, có đường kính là đoạn thẳng nối hai điểm cho trước đó.
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại B, DA vuông góc (ABC). Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Biết AB = 3a, BC = 4a, DA= 5a. Từ (1) và (2) bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên mặt cầu đường kính DC. Gọi I là trung điểm của DC, R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 2a. Cạnh bên SAI(ABCD), góc giữa SO và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Qua O dựng đường thẳng song song với SA cắt mặt phẳng trung trực của cạnh SA tại I là trung điểm của SC. I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA = AB = a. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Trung điểm của SA là N. Ta có AC = SAC vuông cân tại S. SIA vuông cân tại I. I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Bán kính của mặt cầu R = IA.