Hình trụ nội tiếp, ngoại tiếp hình lăng trụ đứng

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Hình trụ nội tiếp, ngoại tiếp hình lăng trụ đứng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Hình trụ nội tiếp, ngoại tiếp hình lăng trụ đứng:
Dạng 3. Hình trụ nội – ngoại tiếp hình lăng trụ đứng Phương pháp: Hình trụ nội – ngoại tiếp lăng trụ đứng có chiều cao bằng độ dài cạnh bên của lăng trụ và đáy là đường tròn nội – ngoại tiếp đa giác đáy của lăng trụ (tham khảo hình vẽ). Ví dụ 1: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh đáy bằng 2, chiều cao bằng 4. Thể tích của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ bằng A. 6π. B. 4π. C. 8π. D. 12π.
Lời giải: Chiều cao của khối trụ là h AA 4. Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là R∆ABC. Suy ra bán kính đáy hình trụ là R = 3. Vậy thể tích khối trụ là 2 V Rh π π 12. Chọn D. Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a AC a 3. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng đáy bằng 600. Thể tích khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho bằng?
Lời giải: Tam giác ABC vuông tại A, có 2 2 BC AB AC a 2. Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là 2 ABC BC R a ∆. Ta có AA ABC A B ABC AA A BA AB 60. Tam giác A’AB vuông tại A, có AA AB tan 60 a 3. Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ có 3 ABC h AA R a R a ∆. Vậy thể tích khối trụ là 2 3 V Rh a π π3. Chọn B. Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A AB a BC a 3 5.
Khối trụ nội tiếp lăng trụ đứng có thể tích bằng 3 2 π a. Thể tích khối lăng trụ đứng bằng? Lời giải: Thể tích khối trụ là 32 2 3 V a Rh Rh a 2π π 2 với R r ABC h AA. Tam giác ABC vuông tại A có 2 2 1 2 4 2 ABC AC BC AB a S AB AC a ∆. Ta có 3 2 6 6 ABC aaa S a AB BC A r a a p C p a ∆. Do đó 2 3 R a a h a h AA a. Vậy thể tích khối lăng trụ là 3 12 ABC VA a A S ∆. Chọn C.
Ví dụ 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng a, đáy là tam giác vuông cân tại A. Góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (BCC’B’) bằng 300. Diện tích xung quanh của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng? Lời giải: Gọi M là trung điểm BC AM BC mà BB AM. Suy ra 0 AM BCC B AC BCC B AC M. Đặt x AB AC x BC x AM AC x a. Tam giác AC’M vuông tại M, có sin 2 AM AC M AC AM 2 2 2 ABC x BC a x a xa R∆.
Vậy diện tích xung quanh khối trụ là 2 S 2 2 xq π π Rh a Chọn A. Ví dụ 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 30°. Biết AB a 3 thể tích khối trụ nội tiếp lăng trụ đã cho bằng? Lời giải: Dựng AM BC mà AA BC BC A AM. Do đó 0 A BC ABC A MA 30 mà 3 3a 2 2 AB AM. Suy ra 3a 0 3 tan tan 30 a AA AM A MA. Bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC là 3 a 6 2 ABC AB r∆.
Khối trụ nội tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ có 2 3 2 ABC a R r a h AA. Vậy thể tích khối trụ là 2 3 aa a V Rh π. Chọn D. Ví dụ 6: Diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp hình lập phương cạnh a bằng? Lời giải: Chiều cao của hình trụ là h AA a. Hình lập phương có đáy là hình vuông 2 2 2 ABC AC a R∆. Suy ra bán kính đáy hình trụ là 2 2 S 2 2 2 xq a R π π Rh a Chọn B.
Ví dụ 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a AD a 2. Diện tích tam giác A’DC bằng 2 13 2 a. Thể tích khối trụ ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho bằng? Lời giải: Ta có C C D DD AD. Suy ra 2 D 1 2 2 A C a S ADC AD a ∆. Do đó 2 2 AA A D AD a a. Khối trụ ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có 5 2 2 3 AC a R h AA a. Thể tích khối trụ cần tính là? Chọn C.
Ví dụ 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD) bằng 45°. Diện tích xung quanh hình trụ nội tiếp lăng trụ đứng đã cho bằng? Lời giải: Gọi O là tâm hình vuông ABCD B ⇒ D AO. Khi đó 0 A BD ABCD A O OA A OA 45. Suy ra tam giác A’AO vuông cân tại 2 2 a A AA OA. Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD là 2 ABC a r∆. Khối trụ nội tiếp lăng trụ đứng có 2 2 2 ABC a Rr h A a. Vậy diện tích xung quanh cần tính là 2 2 S2 2 xq a Rh π π. Chọn D.