Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c (tứ diện gần đều). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c (tứ diện gần đều). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c (tứ diện gần đều). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD:
Mẫu 1: Cho tứ diện ABCD có AB CD a AC BD b AD BC c (tứ diện gần đều). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là 222 8 abc R. Chứng minh: Gọi M NO lần lượt là trung điểm của AB CD và MN. Ta có: ∆ ∆ ACD BDC c c c DM CM. Khi đó MN CD tương tự MN AB suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Ta có: 2 2 222 2 2 4 4 MN a R OA OB OM AM. Xét ∆CMN có: 22 2 2 2 44 bc a a MN CM CN 2 848 bca bca a abc R.
Vậy 222 8 abc R. Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB CD AC BD AD BC 3 2 2 2. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là? Lời giải: Áp dụng công thức nhanh ta có: 3 2 22 21 21 4 8 88 2 abc R S R π π. Chọn A. Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB CD a AC BD AD BC b. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là?
Lời giải: Áp dụng công thức nhanh ta có: 222 8 8 abc a b R R. Chọn A. Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB CD AC BD AD BC 2 1. Thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là? Lời giải: Áp dụng công thức nhanh ta có: 222 8 8 38 2 2 abc R V R π π. Chọn D.
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB CD AC BD AD BC 3 5 6. Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thuộc khoảng nào dưới đây? Lời giải Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là 222 35 8 2 AB AC AD R. Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là? 2 6 V R π π π. Chọn C.
Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có AB CD x AC BD y AD BC 2 3. Bán kính khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 2. Giá trị lớn nhất của xy bằng? Lời giải Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là 222 8 AB AC AD R. Khi đó 2 2 2 2 3 2 4 8 x y x y mà 2 2 4 2 2 2 x y xy. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y 2. Vậy max xy 2. Chọn A.