Hình trụ nội tiếp hình cầu

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Hình trụ nội tiếp hình cầu, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Hình trụ nội tiếp hình cầu:
Dạng 4. Hình trụ nội tiếp hình cầu Ví dụ 1: Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 nội tiếp trong hình cầu bán kính bằng 3. Tính thể tích V của khối trụ này A. 4π. B. 8π. C. 12π. D. 20π. Lời giải: Gọi r, h, R lần lượt là bán kính đáy hình trụ, chiều cao hình trụ và bán kính của hình cầu. Theo hình vẽ, ta được 2 2 2 I I A O OA 2 2 2 4 h R r (công thức tổng quát bài toán trụ nội tiếp cầu).
Với 2 2 4 5 4 hR r r. Vậy thể tích khối trụ là 2 V rh π π 20. Chọn D. Ví dụ 2: Hình trụ (T) có bán kính đáy bằng 3a, chiều cao bằng 8a có hai đáy nằm trên mặt cầu (S). Thể tích của khối cầu bằng? Lời giải: Áp dụng công thức tổng quát bài toán trụ nội tiếp cầu, ta được 2 8a 3a 9a 16a 25a 5a 4 4 h R r R. Vậy thể tích khối cầu là 3 4 500 3 3 3 a V R π π. Chọn C.
Ví dụ 3: Một quả cầu có thể tích 256 3 3 cm π được đặt vào trong một chiếc cốc có dạng hình trụ với đường kính đáy là 6 cm như hình vẽ. Phần nhô ra khỏi chiếc cốc của quả cầu bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 2,21 cm. B. 2,38 cm. C. 4,52 cm. D. 6,65 cm. Lời giải: Yêu cầu bài toán 0 h TB (hình vẽ bên). Thể tích khối cầu là 4 256 3 4 V R R cm π. Bán kính đáy của hình trụ là 3 2 d r cm.
Tam giác MBO vuông tại B, có 2 2 OB OM BM 7. Do đó TB TO OB 4 7 6 65 cm. Chọn D. Ví dụ 4: Cho mặt cầu (S) có bán kính R không đổi (cho trước). Một hình trụ có chiều cao h và bán kính r thay đổi nội tiếp mặt cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất. Lời giải: Gọi I là trung điểm OO I ⇒ là tâm mặt cầu Tam giác IAO có 2 4 2 h r R Rh.
Suy ra 2 2 x 2 2 xq ma SRS R. Dấu bằng xảy ra khi 2 22 h h ⇔ 4R h R. Chọn A. Ví dụ 5: Cho mặt cầu (S) có bán kính R không đổi (cho trước). Một hình trụ có chiều cao h và bán kính r thay đổi nội tiếp mặt cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho thể tích khối trụ lớn nhất. Lời giải: Gọi I là trung điểm OO I ⇒ là tâm mặt cầu. Tam giác IAO có 2 2 2 1 2 2 R 4R. Ta có h V rh h π π f h. Xét hàm số f h có 2 2 3 R 0 4 fh h π 2 3 3 R h. Lập bảng biến thiên ⇒ Vmax khi 2 3 3 R h. Chọn B.