Tính thể tích khối chóp đều

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tính thể tích khối chóp đều, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tính thể tích khối chóp đều:
Dạng 3: Thể tích khối chóp đều Phương pháp giải: Khối chóp đều là khối chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Khối chóp tam giác đều Khối chóp tam giác đều là khối chóp có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Nếu cho khối chóp đều S.ABC thì ta có: – Tam giác ABC là tam giác đều và các cạnh bên SA = SB = SC.
Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy trùng với trọng tâm G (cũng là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp) của tam giác đều ABC tức là SG ⊥ (ABC). – Các cạnh bên bằng nhau và đều tạo với đáy một góc bằng nhau. – Các mặt bên là tam giác cân bằng nhau và các mặt phẳng bên đều tạo với đáy các góc bằng nhau.
Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau. Như vậy khối tứ diện đều là một trường hợp đặc biệt của khối chóp tam giác đều. Khối tứ diện đều là khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy. Khối chóp tứ giác đều Khối chóp tứ giác đều là khối chóp có đáy là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau. Nếu cho khối chóp đều S.ABCD thì ta có?
Tứ giác ABCD là hình vuông và các cạnh bên SA = SB = SC = SD. – Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy trùng với tâm O của hình vuông ABCD tức là SO ⊥ (ABCD). – Các cạnh bên bằng nhau và đều tạo với đáy một góc bằng nhau. – Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và các mặt phẳng bên đều tạo với đáy các góc bằng nhau.
Ví dụ 1: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. Lời giải: Giả sử khối chóp S.ABCD đều có đáy là hình vuông cạnh a tâm O và cạnh bên SD = 2a. Khi đó SO ⊥ (ABCD). Ta có: a a OD a OD SO a a ⇒ 2 ABCD S a 1 1 7 14 3 32 6 S ABCD ABCD a V SO S a a. Chọn A.
Ví dụ 2: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC Lời giải: Gọi H là trọng tâm của ∆ ABC và M là trung điểm của BC. Ta có AM 32a ⇒ AH = 2. Mặt khác: 2 22 2 3 33 4 3 3 a a SH SA AH a. Do đó 3 1 11 3 12 S ABC ABC a V SH S. Chọn B.
Ví dụ 3: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 60°. Tính thể tích khối chóp đã cho. Lời giải: Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra SH ABC. Gọi M là trung điểm của BC ta có 3 2 a AM. Khi đó 2 23 3 a a AH AM. Lại có 60 tan 60 o o SAH SH HA a. Suy ra: 2 3 1 133 3 3 4 12 S ABC ABC a a V SH S a. Chọn C.
Ví dụ 4: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 60°. Tính thể tích khối chóp đã cho. Lời giải: Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra SH ABC. Gọi M là trung điểm của BC ta có 3 2 a AM. Khi đó 1 13 3 a a HM AM. Lại có BC SA BC SAM BC AM. Do đó tan 60 2 a SMH SBC ABC SH HM.
Do đó 2 324 S ABC ABC aa a V SH S. Chọn D. Ví dụ 5: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a mặt bên tạo với đáy một góc bằng 30°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a và 30°. Lời giải: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD khi đó SO ABCD và 2 ABCD S a. Dựng OE CD lại có CD ⊥ SO ⇒ CD (SEO). Khi đó ta có: (SCD ABCD SEO ) 30. Mặt khác 2 BC OE (đường trung bình trong tam giác) nên tan 30 tan 30 2 2 2 3 a aa OE SO OE.
Khi đó 3 3 6 3 18 S ABCD ABCD a a V SO S. Chọn D. Ví dụ 6: Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a. Thể tích khối chóp đã cho bằng: Lời giải: Gọi O AC BD ta có SO ABCD và đáy ABCD là hình vuông. Ta có: 2 4 ABCD S a 2 2 BC OB a 2 2 ⇒ SO SB OB a 2 ⇒ 3 2 1 1 42 2 33 3 S ABCD ABCD a V SO S a AB. Chọn A.