VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Đối xứng trục, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.
Nội dung bài viết Đối xứng trục:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa 1. Hai điểm gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó. Khi một điểm nằm trên đường thẳng d thì điểm đối xứng với nó qua đường thẳng d chính là điểm đó. Định lí 1. Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau. Định lí 2. Hình thang cân nhận đường thẳng đi qua hai trung điểm hai đáy làm trục đối xứng. B CÁC DẠNG TOÁN VÍ DỤ 1. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng phía với đường thẳng D. Dựng điểm C thuộc d sao cho CA + CB có độ dài ngắn nhất. LỜI GIẢI. Hướng suy nghĩ. Bài toán trở nên đơn giản nếu cho A, B nằm khác phía đối với d. Khi đó C là giao điểm của d với đoạn thẳng AB (Hình 10a). Trong trường hợp A, B nằm cùng phía với d, ta có thể tạo ra điểm B0 nằm khác phía với A đối với d mà độ dài CB0 luôn luôn bằng CB khi C thay đổi vị trí trên đường thẳng d. Điểm B0 chính là điểm đối xứng với B qua d. d A C B.
Phân tích: Vẽ B0 đối xứng với B qua d. Gọi M là điểm bất kì thuộc d. Ta có MB0 = MB. Do đó AM + MB = AM + MB0 ≥ AB0 (hằng số). Vậy giá trị nhỏ nhất của AM + MB bằng AB0 khi M thuộc đoạn AB0. Cách dựng. Dựng B0 đối xứng với B qua d. Nối A với B0, cắt d ở C. A d C B M B0 Chứng minh. Gọi M là điểm bất kì thuộc d. Ta có AM + MB = AM + MB0 ≥ AB0, AC + CB = AC + CB0 = AB0. Vậy AC + CB ≤ AM + MB. Biện luận. Bài toán có một nghiệm hình. VÍ DỤ 2. Cho hai đường thẳng x, y và hai điểm A, B. Dựng điểm C thuộc x và điểm d thuộc y sao cho A, B, C, D là các đỉnh của hình thang cân có AB là một cạnh đáy. LỜI GIẢI. Phân tích. Giả sử đã dựng được hình thang cân thỏa mãn yêu cầu đề bài. Gọi d là đường trung trực của AB. Dựng đường thẳng x 0 qua D và giao điểm của d và x (nếu d k x thì x 0 là đường thẳng đi qua D và song song với x). Khi đó, x 0 đối xứng với x qua d. Điểm D thỏa mãn hai điều kiện: thuộc x 0 và thuộc y.
Từ đó dựng được điểm C. C x D x 0 A d y B Cách dựng Dựng đường trung trực d của AB. Dựng đường thẳng x 0 đối xứng với x qua d. Gọi D là giao điểm của x 0 và y. Dựng C đối xứng với D qua d. Chứng minh. Theo cách dựng thì AB k CD do cùng vuông góc với d. Mặt khác AC đối xứng với BD qua d nên AC = BD. Vậy tứ giác ABCD là hình thang cân. Biện luận. Nếu x 0 trùng y thì bài toán có vô số nghiệm hình (Hình 12). Khi đó x và x 0 đối xứng nhau qua d; nói cách khác d trùng với phân giác của góc tạo bởi x và y (Hình 12a) hoặc d là đường thẳng song song cách đều x và y. (Hình 12b). C x x 0 D A d B y D y C x d A B x 0 Nếu x 0 k y thì bài toán không có nghiệm hình (Hình 13). Khi đó d song song với một tia phân giác của góc tạo bởi x và y. (Hình 13b,c). x A d y B x 0 d x y B A y d x ≡ x 0 A B Nếu x 0 cắt y thì bài toán có một nghiệm hình (Hình 14). Khi đó d cắt cả hai đường thẳng chứa tia phân giác của góc tạo bởi x và y (Hình 14a) hoặc d cắt đường thẳng song song cách đều x và y (Hình 14b). C x D x 0 A d y B C x y D x 0 A d B Riêng nếu x 0 cắt y tại điểm D thuộc d, bài toán không có nghiệm hình (hình thang cân suy biến thành tam giác cân, Hình 15a,b); nếu x 0 cắt y tại điểm D thẳng hàng với AB, bài toán không có nghiệm hình (hình thang cân suy biến thành đoạn thẳng). D x x 0 A d B y D A B d x ≡ x 0 y.
Chú ý: 1. Trong cách dựng trên, do chú ý đến tính đối xứng trục, ta đã dựng d là đường trung trực của AB, khi đó đường thẳng d xác định, các điểm C và D đối xứng nhau qua d. Ta thấy: D đối xứng với C qua d, mà C thuộc đường thẳng x thì D thuộc đường thẳng x 0 đối xứng với x qua d. Giao điểm của x 0 và y cho ta điểm D. 2. Cũng có thể phân tích: C đối xứng với D qua d, mà D thuộc y nên C thuộc đường thẳng y 0 đối xứng với y qua d. Giao điểm của x và y 0 cho ta điểm C. C BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI 1. Cho tam giác ABC có Ab = 60◦, các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BD, cắt BC ở F. Chứng minh rằng 1 E và F đối xứng với nhau qua BD. 2 IF là tia phân giác của góc BIC. 3 D và F đối xứng nhau qua IC. LỜI GIẢI. A I B C D E F H 1 Gọi H là giao điểm của EF và BD. Dễ thấy 4BHE = 4BHF (cạnh góc vuông – góc nhọn). Do đó HE = HF hay H là trung điểm của EF. Vậy E và F đối xứng qua BD. 2 Theo ý a), góc BIE và góc BIF đối xứng qua BD nên BIE = BIF. Mặt khác BIC = 180◦ − B + Cb 2 = 180◦ − 180◦ − Ab 2 = 120◦ nên BIF = BIE = 180◦ − BIC = 60◦. Suy ra CIF = BIF = 60◦. Vậy IF là tia phân giác góc BIC. 3 Theo chứng minh trên ta có CID = BIE = CIF, do đó 4CDI = 4CF I (g.c.g). Suy ra CD = CF và ID = IF, hay CI là đường trung trực của DF. Vậy D và F đối xứng nhau qua CI.
BÀI 2. Cho ba điểm O, D, E. Dựng tam giác ABC sao cho O là giao điểm của các đường phân giác BD và CE. LỜI GIẢI. Phân tích. Giả sử đã dựng được tam giác ABC thỏa mãn đề bài. Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng với D qua OE, đối xứng với E qua OD. Chú ý rằng BC đối xứng với BA qua OD và CB đối xứng với CA qua OE nên M, N thuộc BC. Từ đó B là giao điểm của MN và OD, C là giao điểm của MN và OE. Cách dựng. Dựng M đối xứng với D qua OE, N đối xứng với E qua OD. Dựng điểm B, C lần lượt là giao điểm của MN với OD và OE. Dựng điểm A là giao điểm của BE và CD. A B C O N M E D Chứng minh. Do D và M đối xứng qua OC nên MCO ÷= DCO hay CO là tia phân giác góc BCA. Tương tự BO là tia phân giác góc CBA. Ta có điều phải chứng minh. Biện luận. Nếu DOE ≤ 90◦ hoặc O, D, E thẳng hàng thì không có nghiệm hình. Nếu tam giác ODE cân tại O và DOE = 120◦ thì M trùng N, bài toán có vô số nghiệm hình. Các trường hợp còn lại, bài toán có một nghiệm hình.
BÀI 3. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm khác phía đối với d. Dựng điểm C thuộc d sao cho tia phân giác của góc ACB nằm trên d. LỜI GIẢI. Phân tích. Giả sử đã dựng được hình vẽ thỏa mãn bài toán. Khi đó hai đường thẳng CA và CB đối xứng nhau qua d. Do đó điểm A0 đối xứng với A qua d thuộc đường thẳng CB. Khi đó C là giao điểm của BA0 và d. Cách dựng. Dựng điểm A0 đối xứng với A qua d. Dựng điểm C là giao điểm của BA0 và d. Chứng minh. Theo các dựng thì CA và CB là hai đường thẳng đối xứng với nhau qua d nên d là đường phân giác của góc ACB. Ta có điều phải chứng minh. C d A A0 B Biện luận. Nếu khoảng cách từ A và B đến d bằng nhau thì bài toán không có nghiệm hình. Nếu Khoảng cách từ A và B đến d khác nhau thì bài toán có một nghiệm hình. BÀI 4. Dựng hình thang cân ABCD (AB k CD) có D = 2ACD, biết CD = a, đường cao AH = h. LỜI GIẢI. Phân tích. Giả sử đã dựng được hình thang ABCD thỏa mãn bài toán. Khi đó BCD = ADC = 2ACD nên CA là tia phân giác góc CBD. Lại có BAC = ACD nên BAC = BCA hay tam giác BAC cân tại B.
Gọi M là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác BAC. Do tam giác BAC cân nên GA = GC. Cách dựng. Dựng đoạn thẳng CD. Dựng đường thẳng m song song với CD và cách CD một đoạn bằng h. Dựng đường trung trực d của CD, cắt m tại M. Dựng điểm G trên đoạn CM sao cho GC = 2GM (dựng tam giác CXY bất kì có M là trung điểm XY, G là trọng tâm tam giác CXY). A B D H C M G d h a m Dựng điểm A là giao điểm đường tròn (G; GC) với đường thẳng m sao cho A và C khác phía đối với d (chú ý GC = 2GM > GM > x với x là khoảng cách từ G đến m nên luôn dựng được điểm A). Dựng điểm B đối xứng với A qua d. Chứng minh. Theo cách dựng, G là trọng tâm tam giác ABC, hơn nữa do GA = GC nên G nằm trên đường trung trực của AC, do đó BG là trung trực của AC. Suy ra BCA = BAC = ACD. Hiển nhiên theo cách dựng thì ABCD là hình thang cân. Do đó ADC = BCD = 2ACD. Biện luận. Bài toán có hai nghiệm hình.