Nhân đa thức

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Nhân đa thức, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.

Nội dung bài viết Nhân đa thức:
A LÝ THUYẾT VÍ DỤ 1. Tính giá trị của biểu thức A = x 4 − 17x 3 + 17x 2 − 17x + 20 tại x = 16. LỜI GIẢI. Cách 1 Chú ý rằng x = 16 nên x − 16 = 0, do đó ta biến đổi để biểu thức chứa nhiều biểu thức dạng x − 16. A = x 4 − 16x 3 − x 3 + 16x 2 + x 2 − 16x − x + 16 + 4 = x 3 (x − 16) − x 2 (x − 16) + x(x − 16) − (x − 16) + 4 = 4. Cách 2 Trong biểu thức A, ta thay các số 17 bởi x + 1, còn 20 bởi x + 4. A = x 4 − x 3 (x + 1) + x 2 (x + 1) − x(x + 1) + x + 4 = x 4 − x 4 − x 3 + x 3 + x 2 − x 2 − x + x + 4 = 4. VÍ DỤ 2. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết rằng nếu cộng ba tích của hai trong ba số ấy, ta được 242. LỜI GIẢI. Coi x − 1, x, x + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp. Ta có x(x − 1) + x(x + 1) + (x − 1)(x + 1) = 242 ⇔ 3x 2 − 1 = 242 ⇔ x 2 = 81. Do x là số tự nhiên nên x = 9. Ba số tự nhiên cần tìm là 8; 9; 10.
B BÀI TẬP 1. Nhân đơn thức với đa thức BÀI 1. Thực hiện phép tính 1 3x n · (6x n−3 + 1) − 2x n · (9x n−3 − 1). 2 5 n+1 − 4.5 n. 3 6 2 · 6 4 − 4 3 · (36 − 1). LỜI GIẢI. 1 3x n (6x n−3 + 1) − 2x n (9x n−3 − 1) = 18x 2n−3 + 3x n − 18x 2n−3 + 2x n = 5x n. 2 5 n+1 − 4.5 n = 5.5 n − 4.5 n = 5n. 3 6 2 · 6 4 − 4 3 (36 − 1) = (3.2)6 − (22) 3 (36 − 1) = 36 · 2 6 − 2 6 · 3 6 + 26 = 26. BÀI 2. Tìm x, biết 1 4(18 − 5x) − 12(3x − 7) = 15(2x − 16) − 6(x + 14). 2 5(3x + 5) − 4(2x − 3) = 5x + 3(2x + 12) + 1. 3 2(5x − 8) − 3(4x − 5) = 4(3x − 4) + 11. 4 5x − 3[4x − 2(4x − 3(5x − 2))] = 182. LỜI GIẢI. 1 4(18 − 5x) − 12(3x − 7) = 15(2x − 16) − 6(x + 14) 72 − 20x − 36x + 84 = 30x − 240 − 6x − 84 156 − 56x = 24x − 324 156 + 324 = 24x + 56x 80x = 480 x = 6. 2 5(3x + 5) − 4(2x − 3) = 5x + 3(2x + 12) + 1 15x + 25 − 8x + 12 = 5x + 6x + 36 + 1 7x + 37 = 11x + 37 4x = 0 x = 0. 3 2(5x − 8) − 3(4x − 5) = 4(3x − 4) + 11 10x − 16 − 12x + 15 = 12x − 16 + 11 −2x − 1 = 12x − 5 5 − 1 = 12x + 2x 14x = 4 x = 2 7. 4 5x − 3[4x − 2(4x − 3(5x − 2))] = 182 5x − 3[4x − 2(4x − 15x + 6)] = 182 5x − 3[4x − 2(−11x + 6)] = 182 5x − 3[4x + 22x − 12] = 182 5x − 78x + 36 = 182 −73x = 182 − 36 x = −2.
BÀI 3. Tính giá trị của các biểu thức 1 A = x 3 − 30x 2 − 31x + 1 tại x = 31. 2 B = x 5 − 15x 4 + 16x 3 − 29x 2 + 13x tại x = 14. 3 C = x 14 − 10x 13 + 10x 12 − 10x 11 + · · · + 10x 2 − 10x + 10 tại x = 9. LỜI GIẢI. 1 Vì x = 31 nên x − 31 = 0 do đó ta biến đổi A = x 3 − 30x 2 − 31x + 1 = x 3 + x 2 − 31x 2 − 31x + 1 = x 2 (x − 31) + x(x − 31) + 1 = 1. 2 Vì x = 14 nên x − 14 = 0 do đó ta biến đổi B = x 5 − 15x 4 + 16x 3 − 29x 2 + 13x = x 5 − 14x 4 − x 4 + 14x 3 + 2x 3 − 28x 2 − x 2 + 14x − x = x 4 (x − 14) − x 3 (14 − x) + 2x 2 (x − 14) + x(14 − x) − x = −x = −14. 3 Trong biểu thức C, ta thay các số 10 bởi x + 1. C = x 14 − (x + 1)x 13 + (x + 1)x 12 − (x + 1)x 11 + · · · + (x + 1)x 2 − (x + 1)x + (x + 1) = x 14 − x 14 − x 13 + x 13 + x 12 − x 12 − x 11 + · · · − x 2 − x + x + 1 = 1. BÀI 4. Tính giá trị của biểu thức sau bằng cách thay số bởi chữ một cách hợp lý A = 2 1 315 · 1 651 − 1 105 · 3 650 651 − 4 315 · 651 + 4 105 LỜI GIẢI. A = 2 1 315 · 1 651 − 1 105 · 3 650 651 − 4 315 · 651 + 4 105 = 2.315 + 1 315 · 1 651 − 3 315 · 3.651 + 650 651 − 4 315 · 651 + 4.3 315 = Å 2 + 1 315ã · 1 615 − 3 1 315 Å 4 − 1 651ã − 4 · 1 315 · 1 651 + 12 · 1 315 Đặt a = 1 315 b = 1 651. Khi đó biểu thức có dạng A = (2 + a) b − 3a (4 − b) − 4ab + 12a = 2b + ab − 12a + 3ab − 4ab + 12a = 2b = 2 651. 2. Nhân đa thức với đa thức BÀI 5. Thực hiện phép tính 1 A = (x − 1)(x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1). 2 B = (x + 1)(x 6 − x 5 + x 4 − x 3 + x 2 − x + 1).
LỜI GIẢI. 1 Ta có A = (x − 1)(x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) = (x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x) − (x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) = x 6 − 1. 2 Ta có B = (x + 1)(x 6 − x 5 + x 4 − x 3 + x 2 − x + 1) = (x 7 − x 6 + x 5 − x 4 + x 3 − x 2 + x) + (x 6 − x 5 + x 4 − x 3 + x 2 − x + 1) = x 7 + 1. BÀI 6. Tìm x, biết 1 (x + 2)(x + 3) − (x − 2)(x + 5) = 6. 2 (3x + 2)(2x + 9) − (x + 2)(6x + 1) = (x + 1) − (x − 6). 3 3(2x − 1)(3x − 1) − (2x − 3)(9x − 1) = 0 LỜI GIẢI. 1 (x + 2)(x + 3) − (x − 2)(x + 5) = 6 (x 2 + 5x + 6) − (x 2 + 3x − 10) = 6 2x + 16 = 6 2x = −10 x = −5. 2 (3x + 2)(2x + 9) − (x + 2)(6x + 1) = (x + 1) − (x − 6) (6x 2 + 31x + 18) − (6x 2 + 13x + 2) = 7 18x + 16 = 7 18x = −9 x = − 1 2. 3 3(2x − 1)(3x − 1) − (2x − 3)(9x − 1) = 0 3(6x 2 − 5x + 1) − (18x 2 − 29x − 3) = 0 (18x 2 − 15x + 3) − (18x 2 − 29x − 3) = 0 14x = 0 x = 0. BÀI 7. Cho a+b+c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với M = a(a+b)(a+c); N = b(b+c)(b+a); P = c(c + a)(c + b). LỜI GIẢI. Vì a + b + c = 0 ⇒ a + c = −b b + c = −a a + b = −c. Do đó M = a(a + b)(a + c) = a(−c)(−b) = abc (1). N = b(b + c)(b + a) = b(−a)(−c) = abc (2). P = c(c + a)(c + b) = c(−b)(−a) = abc (3).
Từ (1),(2) và (3) suy ra M = N = P. BÀI 8. Chứng minh rằng các hằng đằng thức 1 (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab. 2 (x + a)(x + b)(x + c) = x 3 + (a + b + c)x 2 + (ab + bc + ca)x + abc. LỜI GIẢI. Thực hiện phép toán nhân đa thức biến đổi VT thành VP. BÀI 9. Cho a + b + c = 2p. Chứng minh hứng hằng đẳng thức 2bc + b 2 + c 2 − a 2 = 4p(p − a). LỜI GIẢI. Ta có 4p(p − a) = 2p · (2p − 2a) = (a + b + c)(a + b + c − 2a) = (a + b + c)(b + c − a) = (b + c) 2 − a 2 = 2bc + b 2 + c 2 − a 2. BÀI 10. Xét các ví dụ 53 · 57 = 32021, 72 · 78 = 5616. Hãy xây dựng quy tắc nhân nhẩm hai số có hai chữ số, trong đó các chữ số hàng chục bằng nhau, còn chữ số hàng đơn vị có tổng bằng 10. LỜI GIẢI. Ta xét hai số ab và ac thỏa mãn b + c = 10. Khi đó (10a + b)(10a + c) = 100a 2 + 10ac + 10ab + bc = 100a 2 + 10a(b + c) + bc = 100a 2 + 100a + bc = 100a(a + 1) + bc. Quy tắc: Nhân chữ số hàng chục với chữ số hàng chục thêm 1 rồi viết vào sau tích đó tích của hai chữ số đơn vị (tích này viết bằng hai chữ số).