VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.
Nội dung bài viết Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác:
Ta chỉ xét các đa thức một biến, thường có các cách sau: 1. Cách 1. Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử, trong đó có một nhân tử là đa thức chia. VÍ DỤ 7. Chứng minh rằng x 8n + x 4n + 1 chia hết cho x 2n + x n + 1, với mọi số tự nhiên n. LỜI GIẢI. Ta có x 8n + x 4n + 1 = x 8n + 2x 4n + 1 − x 4n = (x 4n + 1)2 − x 2n 2 = (x 4n + x 2n + 1)(x 4n − x 2n + 1). Tiếp tục phân tích x 4n + x 2n + 1 = x 4n + 2x 2n + 1 − x 2n = (x 2n + 1)2 − (x n) 2 = (x 2n + x n + 1)(x 2n − x n + 1). Vậy x 8n + x 4n + 1 chia hết cho x 2n + x n + 1, với mọi số tự nhiên n. 2.
Cách 2. Biến đổi đa thức bị chia thành một tổng các đa thức chia. VÍ DỤ 8. Chứng minh rằng x 3m+1 +x 3n+2 + 1 chia hết cho x 2 +x+ 1 với mọi số tự nhiên m, n. LỜI GIẢI. Ta có x 3m+1 + x 3n+2 + 1 = x 3m+1 − x + x 3n+2 − x 2 + x 2 + x + 1 = x(x 3m − 1) + x 2 (x 3n − 1) + (x 2 + x + 1). Ta thấy x 3m − 1 và x 3n − 1 chia hết cho x 3 − 1, do đó chia hết cho x 2 + x + 1. Vậy x 3m+1 + x 3n+2 + 1 chia hết cho x 2 + x + 1 với mọi số tự nhiên m, n.
VÍ DỤ 9. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m, n thì x 6m+4 + x 6n+2 + 1 chia hết cho x 2 − x + 1. LỜI GIẢI. x 6m+4 + x 6n+2 + 1 = x 6m+4 − x 4 + x 6n+2 − x 2 + x 4 + x 2 + 1 = x 4 (x 6m − 1) + x 2 (x 6n − 1) + (x 4 + x 2 + 1). Do x 6m − 1 . . . x 6 − 1, x 6n − 1 . . .x 6 − 1 và x 6 − 1 = (x 3 + 1)(x 3 − 1) . . . x 2 − x + 1; x 4 + x 2 + 1 = (x 2 + 1)2 − x 2 . . . x 2 − x + 1. Nên suy ra điều cần chứng minh. 3. Cách 3. Sử dụng các biến đổi tương đương, chẳng hạn để chứng minh f(x) . . . g(x), có thể chứng minh f(x) + g(x) . . . g(x) hoặc f(x) − g(x) . . . g(x).
Xem bài tập 268. 4. Cách 4. Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia (ta công nhận rằng điều này dẫn đến đa thức bị chia chia hết cho đa thức chia). VÍ DỤ 10. Cho f(x) = (x 2 + x − 1)10 + (x 2 − x + 1)10 − 2. Chứng minh rằng f(x) chia hết cho x 2 − x. LỜI GIẢI. Đa thức chia có hai nghiệm x = 0 và x = 1. Ta sẽ chứng tỏ rằng x = 0 và x = 1 cũng là nghiệm của đa thức bị chia. Ta có f(0) = 1 + 1 − 2 = 0 nên f(x) chia hết cho x. Ta lại có f(1) = 1 + 1 − 2 = 0 nên f(x) chia hết cho x − 1. Các nhân tử x và x − 1 không chứa nhân tử chung. Do đó f(x) chia hết cho x(x − 1).