VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.
Nội dung bài viết Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Để giải các phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, cần khử dấu giá trị tuyệt đối. Ta nhớ lại: Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó nếu biểu thức không âm, bằng số đối của nó nếu biểu thức âm: |A| = (A nếu A ≥ 0 −A nếu A ≤ 0 Do đó, để khử dấu giá trị tuyêt đối, cần xét giá trị của biến làm cho biểu thức không âm hay âm. Nếu biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối là nhị thức bậc nhất, ta cần nhớ định lí sau: Định lí 1. Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b(a khác 0) Nhị thức ax + b(a khác 0) Cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức; Trái dấu với a với các giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức. Chứng minh. Gọi x0 là nghiệm của nhị thức ax + b(a khác 0) thì x0 = − b a. Xét ax + b a = x + b a = x − x0. Nếu x > x0 thì x − x0 > 0 ⇒ ax + b a > 0 ⇒ ax + b cùng dấu với a. Nếu x < x0 thì x − x0 < 0 ⇒ ax + b a < 0 ⇒ ax + b trái dấu với a. Chẳng hạn: Xét dấu của nhị thức −2x + 1 và x + 5 rồi viết kết quả vào một bảng, ta có: x −2x+ 1 x + 5 −5 1 2 + + 0 0 + + VÍ DỤ 1. Giải phương trình: |x − 5| + |x + 3| = 3x − 1. (1) LỜI GIẢI. Lập bảng xét dấu các nhị thức x − 5 và x + 3: x x − 5 x + 3 −3 5 0 + − 0 + + Xét ba khoảng giá trị của biến x: 1 x < −3: phương trình (1) có dạng: (5 − x) − (x + 3) = 3x − 1, tìm được x = 3 5, loại vì giá trị này không thuộc khoảng đang xét. 2 −3 ≤ x < 5: phương trình (1) có dạng: (5 − x) + (x + 3) = 3x − 1 ⇔ −3x = −9 tìm được x = 3 thuộc khoảng đang xét. 3 5 < x: phương trình (1) có dạng: (x − 5) + (x + 3) = 3x − 1 ⇔ −x = 1 tìm được x = −1, không thuộc khoảng đang xét. Kết luận: S = {3}. VÍ DỤ 2. Giải phương trình: |2x − 1| + |2x − 5| = 4. (1) LỜI GIẢI. Cách 1. 1 Xét khoảng x < 1 2. (1) có dạng: 1 − 2x + 5 − 2x = 4, tìm được x = 1 2, không thuộc khoảng đang xét. 2 Xét khoảng 1 2 ≤ x ≤ 5 2, (1) có dạng: 1 − 2x + 5 − 2x = 4 ⇔ 0x = 0. Phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng đang xét, tức là 1 2 ≤ x ≤ 5 2. 3 Xét khoảng x > 5 2, (1) có dạng: 2x − 1 + 2x + 5 = 4, tìm được x = 5 2, không thuộc khoảng đang xét. Kết luận: S = x 1 2 ≤ x ≤ 5 2 ™. Cách 2: Áp dụng hai lần bất đẳng thức |A| ≥ A (xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi A ≥ 0), ta có: |2x − 1| + k5 − 2x| ≥ (2x − 1) + (5 − 2x) = 4 Theo đề bài, phải xảy ra đẳng thức, do đó (2x − 1 ≥ 0 5 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 2 x ≤ 5 2 ⇔ 1 2 ≤ x ≤ 5 2. VÍ DỤ 3. Giải phương trình ||x| − 3| = x + 1 (1) LỜI GIẢI. 1 Xét khoảng X ≥ 0, (1) có dạng |x − 3| = x + 1 (2) Lại xét hai trường hợp: Với x ≥ 3, (2) có dạng x − 3 = x − 1, vô nghiệm. Với 0 ≤ x < 3, (2) có dạng 3 − x = x − 1 ⇔ x = 1, thuộc khoảng đang xét. 2 Xét khoảng x < 0, (1) có dạng |−x − 3| = x + 1 tức là |x − 3| = x + 1. (3) Lại xét hai trường hợp: Với −3 ≤ x < 0, (3) có dạng x + 3 = x + 1, vô nghiệm. Với x < −3, (3) có dạng −x − 3 = x + 1 ⇔ x = −2, không thuộc khoảng đang xét. Kết luận: S = {1} 1. Bài tập tự luyện.