VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.
Nội dung bài viết Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
A PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ VÍ DỤ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x 2 − 8x + 4. LỜI GIẢI. Đa thức trên không chứa nhân tử chung, không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các hạng tử. Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn. Cách 1. (Tách hạng tử thứ hai) 3x 2 − 8x + 4 = 3x 2 − 6x − 2x + 4 = 3x(x − 2) − 2(x − 2) = (x − 2)(3x − 2). Cách 2. (Tách hạng tử thứ nhất) 3x 2 − 8x + 4 = 4x 2 − 8x + 4 − x 2 = (2x − 2)2 − x 2 =(2x − 2 + x)(2x − 2 − x) = (3x − 2)(x − 2). Nhận xét. Trong cách 1, hạng tử −8x được tách thành hai hạng tử −6x và −2x. Trong đa thức 3x 2 − 6x − 2x + 4, hệ số của các hạng tử là 3, −6, −2, 4. Các hệ số thứ hai và thứ tư đều gấp −2 lần hệ số liền trước, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung x − 2. Một cách tổng quát, để phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho b1 a = c b2, tức là b1b2 = ac. Trong thực hành ta làm như sau: Bước 1: Tính tích ac. Bước 2: Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách. Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b. Trong ví dụ trên, đa thức 3x 2 − 8x + 4 có a = 3, b = −8, c = 4. Tích ac = 3 · 4 = 12. Phân tích 12 ra tích của hai thừa số, hai thừa số này cùng dấu (vì tích của chúng bằng 12), và cùng âm (để tổng của chúng bằng −8) : (−1)(−12), (−2)(−6), (−3)(−4). Chọn hai thừa số mà tổng bằng −8, đó là −2 và −6.
VÍ DỤ 2. Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x 2 − 4x − 3. LỜI GIẢI. Cách 1. (Tách hạng tử thứ hai) 4x 2 − 4x − 3 = 4x 2 + 2x − 6x − 3 = 2x(2x + 1) − 3(2x + 1) = (2x + 1)(2x − 3). Cách 2. (Tách hạng tử thứ ba) 4x 2 − 4x − 3 = 4x 2 − 4x + 1 − 4 = (2x − 1)2 − 2 2 = (2x + 1)(2x − 3) Nhận xét. Qua hai ví dụ trên, ta thấy việc tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác thường nhằm mục đích: Làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung (cách 1); Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương (cách 2). Với các đa thức có bậc từ bậc ba trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ tỉ lệ, người ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức. Ta nhắc lại khái niệm nghiệm của đa thức: số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Như vậy, nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì nó chứa nhân tử x − a. Ta chứng minh được rằng nghiệm của đa thức, nếu có, phải là ước của hệ số tự do. Ta chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức, nếu có, phải là ước của hệ số tự do. Thật vậy, giả sử đa thức a0x n + a1a n−1 + · · · + an−1x + an với các hệ số a0, a1,…, an nguyên, có nghiệm x = a(x ∈ Z). Thế thì a0x n + a1a n−1 + · · · + an−1x + an = (x − a)(b0x n−1 + b1x n−2 + · · · + bn−1). trong đó b0, b1,…, bn−1 nguyên. Hạng tử có bậc thấp nhất của tích ở vế phải bằng −abn−1, hạng tử có bậc thấp nhất của vế trái bằng an. Do đó −abn−1 = an, tức a là ước của an. VÍ DỤ 3. Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = x 3 − x 2 − 4. LỜI GIẢI. Lần lượt kiểm tra với x = ±1, ±2, ±4, ta thấy f(2) = 23 − 2 2 − 4 = 0. Đa thức có nghiệm x = 2, do đó chứa nhân tử x − 2.
Ta tách các hạng tử như sau: Cách 1. x 3 − x 2 − 4 = x 2 − 2x 2 + x 2 − 2x + 2x − 4 =x 2 (x − 2) + x(x − 2) + 2(x − 2) = (x − 2)(x 2 + x + 2). Cách 2. x 3 − x 2 − 4 = x 3 − 8 − x 2 + 4 = (x − 2)(x 2 + 2x + 4) − (x + 2)(x − 2) = (x − 2)(x 2 + 2x + 4 − x − 2) = (x − 2)(x 2 + x + 2). Nhận xét. Khi xét nghiệm nguyên của đa thức, nên nhớ hai định lí sau: 1 Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa nhân tử x − 1. Chẳng hạn, đa thức x 2 − 5x 2 + 8x − 4 có 1 − 5 + 8 − 4 = 0 nên 1 là nghiệm của đa thức, đa thức chứa nhân tử x − 1. 2 Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì −1 là nghiệm của đa thưc, đa thức chưa nhân tử x + 1. Chẳng hạng, đa thức x 3 − 5x 2 + 3x + 9 có 9 − 5 = 3 + 1 nên −1 là nghiệm của đa thức, đa thức chứa nhân tử x + 1. Nhận xét. Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do không là nghiệm của đa thức, có thể dùng nhận xét sau: Nếu x là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(−1) khác 0 thì f(1) a − 1 và f(−1) a + 1 đều là số nguyên.
LỜI GIẢI. Số a là nghiệm của f(x) nên f(x) = (x − a) · Q(x). (1) Thay x = 1 vào (1), ta có f(1) = (1 − a)Q(1). Do f(1) 6= 0 nên a 6= 1, vì thế Q(1) = f(1) 1 − a, tức là f(1) a − 1 là số nguyên. Lấy một ví dụ: f(x) = 4x 3 − 13x 2 + 9x − 18. Các ước của 18 là ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. f(1) = 4 − 13 + 9 − 18 = −18, f(−1) = −4 − 13 − 9 − 18 = −44. Hiển nhiên ±1 không là nghiệm của f(x). Ta thấy −18 −3 − 1, −18 ±6 − 1, −18 ±9 − 1, −18 ±18 − 1 không nguyên nên −3, ±6, ±9, ±18 không là nghiệm của f(x). Ta thấy −44 2 + 1 không nguyên nên 2 không là nghiệm của f(x). Chỉ còn −2 và 3. Kiểm tra thấy 3 là nghiệm của f(x). Do đó, ta tách các hạng tử như sau: 4x 3 − 13x 2 + 9x − 18 = 4x 3 − 12x 2 − x 2 + 3x + 6x − 18 = 4x 2 (x − 3) − x(x − 3) + 6(x − 3) = (x − 3)(4x 2 − x + 6). VÍ DỤ 4 (Triệu Minh Hà, dự án EX-C2-L8). [8D1K9] Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3x 2 − 7x 2 + 17x − 5.
LỜI GIẢI. Các số ±1, ±5 không là nghiệm của đa thức. Như vậy, đa thức không có nghiệm nguyên. Tuy vậy, đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ khác. Ta chứng minh được rằng trong đa thức có các hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất. Xét các số ± 1 3, ± 5 3, ta thấy 1 3 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa thừa số 3x − 1. Ta tách các hạng tử như sau: 3x 3 − 7x 2 + 17x − 5 = 3x 2 − x 2 − 6x 2 + 2x + 15x − 5 = x 2 (3x − 1) − 2x(3x − 1) + 5(2x − 1) = (3x − 1)(x 2 − 2x + 5). B PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ 1. Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình phương VÍ DỤ 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4x 4 + 81. LỜI GIẢI. Thêm và bớt 36x 2 : 4x 4 + 81 = 4x 4 + 36x 2 + 81 − 36x 2 = (2x 2 + 9)2 − (6x) 2 = (2x 2 + 9 + 6x)(2x 2 + 9 − 6x). VÍ DỤ 6. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 64x 4 + y 4.
LỜI GIẢI. Thêm và bớt 16x 2 y 2 : 64x 4 + y 4 = 64x 4 + 16x 2 y 2 + y 4 − 16x 2 yy2 = (8x 2 + y 2) 2 − (4xy) 2 = (8x 2 + y 2 + 4xy)(8x 2 + y 2 − 4xy). 2. Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung VÍ DỤ 7. Phân tích đa thức thành nhân tử: x 5 + x − 1. LỜI GIẢI. Cách 1. x 5 + x − 1 = x 5 − x 4 + x 3 − x 3 + x 2 − x 2 + x − 1 = x 3 (x 2 − x + 1) + x 2 (x 2 − x + 1) − (x 2 − x + 1) = (x 2 − x + 1)(x 2 + x + 1). Cách 2 Thêm và bớt x 2 : x 5 + x − 1 = x 5 + x 2 − x 2 + x − 1 = x 2 (x 3 + 1) − (x 2 − x + 1) = (x 2 − x + 1)[x 2 (x + 1) − 1] = (x 2 − x + 1)(x 3 + x 2 − 1). VÍ DỤ 8. Phân tích đa thức thành nhân tử: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128. LỜI GIẢI. Đặt x 2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng: (y − 12)(y + 12) + 128 = y 2 − 16 = (y + 4)(y − 4) ⇒ x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x 2 + 10x + 16)(x 2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x 2 + 10x + 8). Nhận xét. Trong ví dụ trên, nhờ phương pháp đổi biến, ta đưa đa thức bậc bốn với x thành đa thức bậc hai đối với y. VÍ DỤ 9. Phân tích đa thức thành nhân tử: A = x 4 + 6x 3 + 7x 2 − 6x + 1. LỜI GIẢI. Giả sử x 6= 0. Ta viết đa thức dưới dạng: A = x 2 x 2 + 6x + 7 − 6 x 2 + 1 x 2 ã = x 2 x 2 + 1 x 2 ã + 6 x − 1 x ã + 7ò Đặt x − 1 x = y thì x 2 + 1 x 2 = y 2 + 2. Do đó A = x 2 (y 2 + 2 + 6y + 7) = x 2 (y + 3)2 = (xy + 3x) 2 = x x − 1 x ã + 3x ò2 = (x 2 + 3x − 1)2. C PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH.