VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.
Nội dung bài viết Phân tích đa thức thành nhân tử:
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Phương pháp Để phân tích đa thức thành nhân tử, ta thường dùng các phương pháp Đặt nhân tử chung: AB + AC = A(B + C). Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ. Nhóm hạng tử: việc nhóm các hạng tử một cách thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung mới. Tách hạng tử. Thêm bớt hạng tử. Đặt ẩn phụ. Phối hợp nhiều phương pháp. Trong phạm vi bài viết này sẽ trình bày ba phương pháp đầu. Bốn phương pháp còn lại sẽ trình bày ở nội dung sau. B PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÍ DỤ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1. LỜI GIẢI. Cách 1: x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1 = x 4 + x 3 + x 2 + x 2 + x + 1 = x 2 (x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) = (x 2 + x + 1)(x 2 + 1). Cách 2: x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1 = (x 4 + 2x 2 + 1) + (x 3 + x) = (x 2 + 1)2 + x(x 2 + 1) = (x 2 + 1)(x 2 + x + 1). VÍ DỤ 2. Cho a + b + c = 0. Rút gọn biểu thức M = a 3 + b 3 + c(a 2 + b 2) − abc. LỜI GIẢI. M = a 3 + b 3 + c(a 2 + b 2) − abc = a 3 + b 3 + a 2 c + b 2 c − abc = (a 3 + a 2 c) + (b 3 + b 2 c) − abc = a 2 (a + c) + b 2 (b + c) − abc = a 2 (−b) + b 2 (−a) − abc = −ab(a + b + c) = 0. Vậy M = 0.
VÍ DỤ 3. 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 3 + b 3 + c 3 − 3abc. 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng cách áp dụng câu a) (x − y) 3 + (y − z) 3 + (z − x) 3. LỜI GIẢI. 1 a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = (a + b) 3 − 3a 2 b − 3ab2 + c 3 − 3abc = (a + b) 3 + c 3 − 3ab(a + b + c) = (a + b + c) (a + b) 2 − c(a + b) + c 2 − 3ab(a + b + c) = (a + b + c) a 2 + 2ab + b 2 − ac − bc + c 2 − 3ab = (a + b + c) a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc. 2 Đặt a = x − y, b = y − z, c = z − x thì a + b + c = 0. Do đó theo kết quả của câu a) ta có a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = 0 ⇒ a 3 + b 3 + c 3 = 3abc ⇒ (x − y) 3 + (y − z) 3 + (z − x) 3 = 3(x − y)(y − z)(z − x). 4! Cần nhớ kết quả của câu a) để vận dụng vào giải toán để được kết quả nhanh nhất. VÍ DỤ 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1 (a + b + c) 3 − a 3 − b 3 − c 3 ; 2 8(x + y + z) 3 − (x + y) 3 − (y + z) 3 − (z + x) 3. LỜI GIẢI. 1 Áp dụng nhiều lần công thức (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b), ta có (a + b + c) 3 − a 3 − b 3 − c 3 = [(a + b) + c] 3 − a 3 − b 3 − c 3 = (a + b) 3 + c 3 + 3(a + b)c(a + b + c) − a 3 − b 3 − c 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b) + c 3 + 3(a + b)c(a + b + c) − a 3 − b 3 − c 3 = 3(a + b)(ab + ac + bc + c 2) = 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)] = 3(a + b)(b + c)(c + a). 2 Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(x + y + z). Đa thức đã cho có dạng (a + b + c) 3 − a 3 − b 3 − c 3. Áp dụng kết quả của câu a), ta được 8(x + y + z) 3 − (x + y) 3 − (y + z) 3 − (z + x) 3 = 3(x + 2y + z)(x + y + 2z)(2x + y + z). 4! Cần nhớ kết quả của câu a) để vận dụng vào giải toán để được kết quả nhanh nhất.
VÍ DỤ 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x 2 (y − z) + y 2 (z − x) + z 2 (x − y). LỜI GIẢI. Khai triển hai hạng tử cuối rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung y − z. P = x 2 (y − z) + zy2 − xy2 + xz2 − yz2 = x 2 (y − z) + yz(y − z) − x(y 2 − z 2) = x 2 (y − z) + yz(y − z) − x(y − z)(y + z) = (y − z)(x 2 + yz − xy − xz) = (y − z)[x(x − y) − z(x − y)] = (y − z)(x − y)(x − z). VÍ DỤ 6. Xét hằng đẳng thức (x + 1)3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1. Lần lượt cho x bằng 1, 2, 3,…, n rồi cộng từng vế n đẳng thức trên để tính giá trị của biểu thức S = 12 + 22 + 32 + · · · + n 2. LỜI GIẢI. Từ hằng đẳng thức đã cho, ta có 2 3 = (1 + 1)3 = 13 + 3 · 1 2 + 3 · 1 + 1 3 3 = (2 + 1)3 = 23 + 3 · 2 2 + 3 · 2 + 1 4 3 = (3 + 1)3 = 33 + 3 · 3 2 + 3 · 3 + 1… (n + 1)3 = n 3 + 3 · n 2 + 3 · n + 1 Cộng từng vế n đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được (n + 1)3 = 13 + 3(12 + 22 + 32 + · · · + n 2) + 3(1 + 2 + 3 + · · · + n) + n. Do đó 3(12 + 22 + 32 + · · · + n 2) = (n + 1)3 − 3n(n + 1) 2 − (n + 1) 3S = (n + 1)[(n + 1)2 − 3n 2 − 1] 3S = (n + 1)(n 2 + n 2) 3S = 1 2 n(n + 1)(2n + 1). Vậy S = 1 6 n(n + 1)(2n + 1). C BÀI TẬP TỰ LUYỆN.