Các hằng đẳng thức đáng nhớ

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Các hằng đẳng thức đáng nhớ, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.

Nội dung bài viết Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
A LÝ THUYẾT Thực hiện phép nhân đa thức, ta được các hằng đẳng thức đáng nhớ sau 1. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. 2. (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2. 3. (a + b)(a − b) = a 2 − b 2. 4. (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab2 + b 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b). 5. (a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab2 − b 3 = a 3 + b63 − 3ab(a − b). 6. (a + b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 − b 3. 7. (a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 + b 3. Ta cũng có (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca. Tổng quát của các công thức 3 và 7, ta có hằng đẳng thức a n − b n = (a − b)(a n−1 + a n−2 b + a n−3 b 2 − · · · − abn−2 + b n−1) với mọi số lẻ n. Tổng quát của các hằng đẳng thức 1, 2, 4, 5, ta có công thức newton. (xem chuyên đề Tính chia hết đối với số nguyên).
VÍ DỤ 1. Chứng minh rằng 3599 viết được dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1. LỜI GIẢI. Ta có 3599 = 3600 − 1 = 602 − 1 2 = (60 + 1)(60 − 1) = 61.59 VÍ DỤ 2. Chứng minh rằng biểu thức sau viết dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức x 2 + 2(x + 1)2 + 3(x + 2)2 + 4(x + 3)2 LỜI GIẢI. Ta có x 2 + 2(x + 1)2 + 3(x + 2)2 + 4(x + 3)2 = x 2 + 2(x 2 + 2x + 1) + 3(x 2 + 4x + 4) + 4(x 2 + 6x + 9) = x 2 + 2x 2 + 4x + 2 + 3x 2 + 12x + 12 + 4x 2 + 24x + 36 = 10x 2 + 40x + 50 = (x 2 + 10x + 25)(9x 2 + 30x + 25) = (x + 5)2 + (3x + 5)2. VÍ DỤ 3. Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Chứng minh rằng x = y = z. LỜI GIẢI. Ta có (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2zx ⇔ 0 = x 2 + y 2 + z 2 ⇒ x = y = z(= 0). VÍ DỤ 4. 1 Tính A = −1 2 + 22 − 3 2 + 42 − · · · − 992 + 1002.
2 Tính A = −1 2 + 22 − 3 2 + 42 − · · · + (−1)n.n2. LỜI GIẢI. 1 Ta có A = −1 2 + 22 − 3 2 + 42 − · · · − 992 + 1002 = (22 − 1 2) + (42 − 3 2) + · · · + (1002 − 992) = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 99 + 100 = 100 · · · 101 2 = 5050. 2 Xét hai trường hợp • Nếu n là chẵn thì A = (22 − 1 2) + (42 − 3 2) + · · · + (1002 − 992) = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + (n − 1) + n = n(n + 1) 2. • Nếu n là lẻ thì A = (22 − 1 2) + (42 − 3 2) + · · · + (1002 − 992) = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + (n − 1) − 2 n = n(n − 1) 2 − n 2 = − n(n + 1) 2 4! Hai kết quả trên có thể viết chung trong một công thức (−1)n · n(n + 1) 2. VÍ DỤ 5. Cho x + y = a + b (1) x 2 + y 2 = a 2 + b 2 (2) Chứng minh rằng x 3 + y 3 = a 3 + b 3.
LỜI GIẢI. Ta có x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 − xy + y 2) (3) Từ (1) suy ra (x + y) 2 = (a + b) 2. Tức là x 2 + 2xy + y 2 = a 2 + 2ab + b 2. Do x 2 + y 2 = a 2 + b 2 nên 2xy = 2ab, suy ra xy = ab. (4) Thay các kết quả (1),(2),(4) vào (3), ta được x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 + y 2 − xy) = (a + b)(a 2 + b 2 − ab) = a 3 + b 3. VÍ DỤ 6. Cho a + b = m, a − b = n. Tính ab và a 3 − b 3 theo m và n. LỜI GIẢI. Cách 1. Từ a + b = m, a − b = n, ta tính được b = m − n 2, a = m + n 2. Do đó ab = m + n 2 · m − n 2 = m2 − n 2 4; a 3 − b 3 = m + n 2 3 − m − n 2 3 = (m + n) 3 − (m − n) 3 8 Rút gọn biểu thức trên, ta được 3m2n + n 3 4. Cách 2. Ta có 4ab = (a + b) 2 − (a − b) 2 = m2 − n 2 nên ab = m2 − n 2 4. Ta có a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2) = (a − b) (a + b) 2 − ab = n Å m2 − m2 − n 2 4 ã = n(3m2 + n 2) 4 = 3m2n + n 3 4. 1. Bài tập.