Tứ giác

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Tứ giác, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.

Nội dung bài viết Tứ giác:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa 1. Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. 4! Các tứ giác được nghiên cứu trong chương là tứ giác lồi, đó là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác. Khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi. Tính chất 1. Tổng bốn góc của một tứ giác bằng 360◦. B CÁC DẠNG TOÁN VÍ DỤ 1. Tứ giác ABCD có B + D = 180◦, CB = CD. Chứng minh rằng AC là tia phân giác của góc A. LỜI GIẢI. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = AB. Ta có B + ADC = 180◦, EDC + ADC = 180◦ nên B = EDC. Ta có 4ABC = 4EDC (c.g.c).
Suy ra (Ab1 = E (1) AC = EC. Tam giác ACE có AC = EC nên là tam giác cân, do đó Ab2 = E (2). C B A D E 1 2 Từ (1) và (2) suy ra AC là tia phân giác của góc A. 1. Bài tập tự luyện BÀI 1. Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc, AB = 8 cm, BC = 7 cm, AD = 4 cm. Tính độ dài CD. LỜI GIẢI. Gọi O là giao đểm của AC và BD. Ta có OC2 + OD2 + OB2 + OA2 = BC2 + AD2 = 72 + 42 = 65. và OA2 + OB2 = AB2 = 64. Suy ra OC2 + OD2 = 1 hay CD2 = 1. Vậy CD = 1. A D B C O BÀI 2. Tứ giác ABCD có Ab − B = 50◦. Các tia phân giác của góc C và D cắt nhau tại I và CDI = 115◦. Tính các góc A và B. LỜI GIẢI. Ta tính được Cb + D = 130◦, do đó Ab + B = 230◦. Ta lại có Ab − B = 50◦. Từ đó Ab = 140◦, B = 90◦. D C I A B BÀI 3. Cho tứ giác ABCD, E là giao điểm của các đường thẳng AB và CD, F là giao điểm của các đường thẳng BC và AD. Các tia phân giác của các góc E và F cắt nhau ở I.
Chứng minh rằng 1 Nếu BAD = 130◦, BCD = 50◦ thì IE vuông góc với IF. 2 Góc EIF bằng nửa tổng của một trong hai cặp góc đối đỉnh của tứ giác ABCD. LỜI GIẢI. 1 Cách giải tổng quát được áp dụng ở câu b. 2 Giả sử E và F có vị trí như trên hình bên, các tia phân giác của góc E và F cắt nhau tại I. Trước hết ta chứng minh BAD +Cb = 2EIF. Thật vậy, gọi H và K là giao điểm của F I với AB và CD. E D K C F A B I H ββ α α Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có BAD = H 1 + α, Cb = K 1 − α nên BAD + Cb = H 1 + K 1 = (EIF + β) + (EIF − β) = 2EIF. Do đó EIF = (BAD + Cb): 2. BÀI 4. Chứng minh rằng nếu M là giao điểm các đường chéo của tứ giác ABCD thì MA + MB + MC + MD nhỏ hơn chu vi nhưng lớn hơn nửa chu vi tứ giác. BÀI 5. So sánh độ dài cạnh AB và đường chéo AC của tứ giác ABCD biết rằng chu vi tam giác ABD nhỏ hơn hoặc bằng chu vi tam giác ACD.
LỜI GIẢI. Cộng từng vế (AB + CD < AC + BD AB + BD ≤ AC + CD Suy ra 2AB < 2AC ⇒ AB < AC. A B D C BÀI 6. Tứ giác ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, AB = 6, OA = 8, OB = 4, OD = 6. Tính độ dài AD. LỜI GIẢI. Kẻ AH ⊥ OB. Đặt BH = x, AH = y. Ta có hệ (x 2 + y 2 = 36 (x + 4)2 + y 2 = 64 ⇒ x = 3 2 y 2 = 135 4. Do đó AD2 = HD2 + AH2 = 11,5 2 + 135 4 = 166. Vậy AD = √166. BÀI 7. Cho năm điểm trên mặt phẳng trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng bao giờ cũng có thể chọn ra được bốn điểm là đỉnh của một tứ giác lồi. LỜI GIẢI. Xét bốn điểm A, B, C, D. Nếu bốn điểm đó là đỉnh của một tứ giác lồi thì bài toán được chứng minh xong. Nếu bố điểm đó không là đỉnh của một tứ giác lồi thì tồn tại một điểm (giả sử điểm D) nằm trong tam giác có đỉnh là ba điểm còn lại (hình bên). Chia mặt phẳng thành chín miền như hình vẽ, điểm thứ năm E nằm bên trong một miền (vì trong năm điểm không có ba điểm thẳng hàng). Nếu E thuộc các miền 1, 4, 8, ta chọn bốn điểm là A, D, B. Nếu E thuộc các miền 2, 5, 7 ta chọn E và A, D, C. Nếu E thuộc các miền 3, 6, 9 ta chọn E, B, D, C.