Phương trình tích

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Phương trình tích, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.

Nội dung bài viết Phương trình tích:
Phương trình tích (một ẩn) là phương trình dạng có dạng A(x)B(x)… = 0 (1) trong đó A(x), B(x),…, là các đa thức. Để giải (1), ta chỉ cần giải từng phương trình A(x) = 0; B(x) = 0,… rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử chung có vai trò quan trọng trong việc đưa một phương trình về dạng tích rồi phân tích. Cách đặt ẩn phụ cũng thường được sử dụng để trình bày lời giải được gọn gàng. VÍ DỤ 1. Giải phương trình (x + 3)3 − (x + 1)3 = 56 LỜI GIẢI. Cách 1. (x + 3)3 − (x + 1)3 = 56 ⇔x 3 + 9x 2 + 27x + 27 − x 3 − 3x 2 − 3x − 1 = 56 ⇔6x 2 + 24x + 26 = 56 ⇔6(x 2 + 4x − 5) = 0 ⇔6(x 2 − x + 5x − 5) = 0 ⇔x(x − 1) + 5(x − 1) = 0 ⇔(x − 1)(x + 5) = 0. Kết luận S = {1; −5}. Cách 2. Chú ý rằng x + 2 là trung bình cộng của x + 3 và x + 1, ta đặt x + 2 = y, phương trình trở thành (y + 1)3 − (y − 1)3 = 56 ⇔y 3 + 3y 2 + 3y + 1 − y 3 + 3y 2 − 3y + 1 = 56 ⇔6y 2 + 2 = 56 ⇔ y 2 = 9 ⇔ y = ±3. Với y = 3 thì x = 1. Với y = −3 thì x = −5. Kết luận S = {1; −5}.
VÍ DỤ 2. Giải phương trình x 3 + (x − 1)3 = (2x − 1)3. (1) LỜI GIẢI. Ta thấy x + (x − 1) = 2x − 1. Đặt x − 1 = y thì (1) có dạng x 3 + y 3 = (x + y) 3 ⇔x 3 + y 3 = x 3 + y 3 + 3xy(x + y) ⇔xy(x + y = 0) ⇔ x = 0 y = 0 x + y = 0 ⇔ x = 0 x − 1 = 0 2x − 1 = 0 ⇔ x = 0 x = 1 x = 1 2. ⇔ x = 0 y = 0 x + y = 0 ⇔ x = 0 x − 1 = 0 2x − 1 = 0 ⇔ x = 0 x = 1 x = 1 2. Kết luận S = ß 0; 1 1; 1 VÍ DỤ 3. Giải phương trình (x + 1)2 (x + 2) + (x − 1)2 (x − 2) = 12. (3.1) LỜI GIẢI. Rút gọn vế trái của phương trình, ta được 2x 3 + 10x = 12 ⇔ x 3 + 5x − 6 = 0 ⇔ (x 3 − 1) + 5(x − 1) = 0 ⇔ (x − 1)(x 2 + x + 6) = 0 Dễ dàng chứng minh được x 2 + x + 6 6= 0. Do đó S = 1. VÍ DỤ 4. Giải phương trình (x 2 − 1)(x 2 + 4x + 3) = 192. (3.2) LỜI GIẢI. Biển đổi phương trình thành (x 2 − 1)(x + 1)(x + 3) = 192 ⇔ (x − 1)(x + 1)2 (x + 3) = 192. Đặt x + 1 = y, phương trình trở thành (y − 2)y 2 (y + 2) = 192 ⇔ y 2 (y 2 − 4) = 192. Đặt y 2 − 2 = z thì z + 2 ≥ 0, phương trình trở thành (z + 2)(z − 2) = 192 ⇔ z 2 = 196 ⇔ z = ±14. Loại z = −14 vì trái với điều kiện z + 2 ≥ 0. Với z = 14 thì y 2 = 16, do đó y = ±4. Với y = 4 thì x + 1 = 4 nên x = 3.
Với y − 4 thì x + 1 = −4 nên x = −5. Kết luận S = {3; −5}. VÍ DỤ 5. Giải phương trình (x − 6)4 + (x − 8)4 = 16. (3.3) LỜI GIẢI. Đặt x − 7 = y, phương trình trở thành (y + 1)2 + (y − 1)4 = 16 Rút ngọn ta được 2y 4 + 12y 2 + 2 = 16 ⇔ y 4 + 6y 2 + 1 = 8 ⇔ y 4 + 6y 2 − 7 = 0. Đặt y 2 = z ≥ 0, ta có z 2 + 6z − 7 = 0 ⇔ z1 = 1; z2 = −7 (loại). Với z = 1, ta có y 2 = 1 nên y = ±1. Từ đó x1 = 8; x2 = 6. 4! Khi giải phương trình bậc 4 dạng (x + a) 4 + (x + b) 2 = c, ta thường đặt ẩn phụ y = x + a + b 2. VÍ DỤ 6. Giải các phương trình 1 x 4 + 3x 3 + 4x 2 + 3x + 1 = 0; (1). 2 x 5 − x 4 + 3x 3 + 3×62 − x + 1 = 0 (2). LỜI GIẢI. 1 x 4 + 3x 3 + 4x 2 + 3x + 1 = 0 (1). Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (1). Chia hai vế của (1) cho x 2 6= 0, ta được x 2 + 3x + 4 + 3 x + 1 x 2 = 0 ⇔ x 2 + 1 x 2 ã + 3 x + 1 x ã + 4 = 0. Đặt x + 1 x = y thì x 2 + 1 x 2 = y 2 − 2, ta được y 2 + 3y + 2 = 0. Do đó y1 = −1; y2 = −2. Với y = −1, ta có x + 1 x = −1 nên x 2 + x + 1 = 0, vô nghiệm.
Với y = −2, ta có x + 1 x = −2 nên (x + 1)2 = 0, do đó x = −1. Kết luận S = {−1}. 4! Cũng có thể giải phương trình (1) bằng cách biến đổi vế trái thành (x + 1)2 (x 2 + x + 1). 2 x 5 − x 4 + 3x 3 + 3x 2 − x + 1 = 0 (2). Ta thấy x = −1 là một ngiệm của phương trình (2) vì tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ. Biến đổi phương trình (2) thành (x + 1)(x 4 − 2x 3 + 5x 2 − 2x + 1) = 0. Giải phương trình x 4 − 2x 3 + 5x 2 − 2x + 1 = 0 (3) Ta thấy x = 0 không là nghiệm không là nghiệm của (3). Chia 2 vế của (3) cho x 2 6= 0, ta được x 2 − 2x + 5 − 2 5 + 1 x 2 = 0 ⇔ x62 + 1 x 2 ã − 2 x + 1 x ã + 5 = 0. Đặt x + 1 x = y thì x 2 + 1 x 2 = y 2 − 2, ta được y 2 − 2y + 3 = 0, vô nghiệm. Kết luận S = {−1}. 4! Ta gọi các phương trình (1) và (2) là phương trình đối xứng: các hệ số của đa thức ở 2 vế trái có tính chất đối xứng qua hạng tử đứng giữa. Phương trình (1) là phương trình đối xứng bậc chẵn, phương trình (2) là phương trình đối xứng bậc lẻ.
Phương trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng nhận x = −1 làm một nghiệm, do đó bằng cách chia hai vế cho x + 1, ta thu được phương trình đối xứng bậc chẵn 2n. Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n đối với x đưa được về phương trình bậc n đối với y bằng cách đặt ẩn phụ y = x + 1 x. Ta có nhận xét sau để kiểm tra lại nghiệm của phương trình đối xứng: Nếu a là nghiệm phương trình thì 1 a cũng là nghiệm của phương trình. VÍ DỤ 7. Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm 1 x 4 − x 3 + 2x 2 − x + 1 = 0; (1) 2 x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0; (2) LỜI GIẢI. 1 x 4 − x 3 + 2x 2 − x + 1 = 0; (1) Biến đổi phương trình (1) thành (x 2 + 1)2 − x(x 2 + 1) = 0. Cả hai nhân tử ở vế đều dương. Kết luận S = R. 2 x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0; (2) Cách 1 Nhân hai vế của (2) với x − 1, ta được (x − 1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0) ⇔x 5 − 1 = 0 ⇔x 5 = 1. (3) Phương trình (3) có nghiệm x = 1, nhưng giá trị này không thỏa mãn phương trình (2(??)). Kết luận S = R. Cách 2 Chứng minh x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 > 0. 4! Các phương trình (1) và (2) cũng là phương trình đối xứng. Do đó cũng có thể giải chúng bằng cách đặt ẩn phụ y = x + 1 x.